CUBATURES EN COORDONNÉES CURVILIGNES
Cette expression n'est autre que celle que l'on aurait obtenue directement par l'application de la formule du n° 476 à l'expression dxdjdz de l'élément de volume en coordonnées rectangulaires.
§ iv.
DÉTERMINATION DES CENTRES DE GRAVITÉ ET DES MOMENTS d'inERTIE.
761. Masse d'un corps. — Pour les corps homogènes, le calcul de leur masse se ramène immédiatement au calcul de leur étendue, linéaire, superficielle ou solide.
Si un corps est hétérogène, on le décomposera en éléments infiniment petits, tels que, dans l'étendue de chacun d'eux, la densité varie infiniment peu. En multipliant l'étendue dV de chaque élément par la densité p en un quelconque de ses points, on obtiendra la masse dm de cet élément, à une fraction près d'ellemême infiniment petite. On cherchera alors, par l'intégration, la limite de la somme de ces éléments dm.
Ainsi, pour une ligne hétérogène, la densité p est fonction de la variable indépendante dont dépendent les coordonnées de chaque point de la courbe. La masse de l'élément d'arc ds étant pds, à un infiniment petit près du second ordre, on aura, pour expression de la masse de la ligne, l'intégrale fpds, pi^ise entre des limites correspondantes .aux extrémités de la ligne.
De même, si une surface plane est composée de tranches homogènes, parallèles à l'axe des y, la masse d'une tranche sera pjdx, et la masse totale fpydx, p étant donné en fonction de x.
Si une sphère est composée de couches concentriques homogènes, le volume d'une couche infiniment mince de rayon /- étanl
d (^7r7'3) = ^TiV-dv, sa masse sera ^npi-dr, et la masse totale
J\r.Jç)V-dr, p étant donné en fonction de r.
Dans une surface hétérogène, la densité est fonction des coordonnées de chaque point. On décomposera alors la surface en éléments infiniment petits du second ordre dS, et l'on obtiendra la masse de la surface en intégrant pdS par rapport à chacune des deux variables. Ainsi la masse d'une aire plane sera
ffp dxdj =ffP rdvdp .
X*i\ LIVRE III. — CIIAP. III, § IV.
De même, celle d'un volume composé de filets homogènes parallèles à l'axe des z sera ffpzdxdy.
Enfin, s'il s'agit d'un solide dont la densité varie avec les trois coordonnées, on le décomposera en éléments de volume infiniment petits du troisième ordre, que l'on multipliera par la valeur correspondante de p; puis on obtiendra la niasse totale par une triple intégration. Ainsi, si les coordonnées sont rectangulaires, la masse
aura pour expression
fffodxdydz.
Si l'on emploie les coordonnées polaires [757], cette expression
deviendra
fffp ?'2 cos q drdpdq.
Si l'on emploie des coordonnées curvilignes quelconques, on aura la masse en multipliant par p, sous le signe de triple intégration, l'élément de volume donné au n° 760.
762. Moments et centres de gravité. — On appelle moment d'un point matériel par rapport à un axe ou à un plan le produit de la masse de ce point par sa distance à cet axe ou à ce plan, cette distance étant comptée positivement dans un sens, négativement dans l'autre.
Le moment d'un système plan par rapport à un axe tracé dans le plan est la somme algébrique des moments des points du système par rapport à cet axe. De même, le moment d'un système solide par rapport à un plan est la somme des moments des points du système par rapport à ce plan.
Le centre de gravité d'un système plan (ou solide) est un point tel, que le moment du système par rapport à tout axe (ou à tout plan) passant par ce point est nul. Le moment du système par rapport à un axe (ou à un plan) quelconque est égal à celui d'un point de masse égale à la masse du système, et situé au centre de gravité.
Si x est la distance d'un point de masse m à un axe (ou à un plan), mx sera le moment du point par rapport à l'axe (ou au plan), et Hmx sera le moment du système total par rapport au même axe (ou au même plan).
Si l'on désigne par £ la distance du centre de gravité du système
CENTRES DE GRAVITÉ. 2j5
au même axe (ou au [même plan) et par S m la masse totale du système, on devra donc avoir
équation qui fera connaître \.
En considérant les moments d'un système par rapport à trois plans rectangulaires entre eux, on aura donc, pour les coordonnées £, m, £ du centre de gravité, les expressions
2m,r 1,iny , ^imz
Si le système est continu, on prendra pour les points matériels m les éléments infiniment petits dm de la masse du système, et les sommes des moments de ces éléments se calculeront, comme la masse totale, au moyen d'intégrations.
Lorsqu'un système est homogène, la densité constante entre en facteur commun dans toutes les sommations, et disparait, par conséquent, des valeurs de £, y, £. On peut donc, dans le cas de l'homogénéité, remplacer partout les masses par les volumes.
Si un système homogène est symétrique par rapport à un plan (ou à un axe), son moment par rapport à ce plan (ou à cet axe) est nul. Donc ce plan (ou axe) de symétrie contient le centre de gravité.
Si un système homogène a un centre de figure, le centre de gravité coïncide avec ce centre de figure.
763. Dans un système linéaire, l'élément de masse a pour expression pds [761]. Donc les moments par rapport aux trois plans coordonnés sont fpxds, fpjds, Jpzds, et les coordonnées du centre de gravité sont
fp xds fards foz ds
J'pds Jpds J fpds
Si le système forme une courbe plane, située dans le plan des xy, tous les z sont nuls, et par suite Ç = o.
Exemple. — Considérons un arc de cercle homogène, et prenons pour axe des x le diamètre bissecteur. A cause de la symétrie, le moment par rapport à cet axe sera nul, et par suite on aura y = o.
De l'équation du cercle x- -f- j - = a~ on tire
ds = ■ — = — dy, d'où xds = cidy,
\Ja2 — y- x
et par suite le moment de l'arc par rapport à l'axe des x sera
ny rj
j xds= j ady — lay.
D'ailleurs la longueur de l'arc est
Ar ady . r
f ' = i a arc sin — •
J-ysI^—f2 On a donc, pour l'abscisse du centre de gravité de l'arc,
i a' sin — ■
•?. a ac
arc sin —
en désignant par c la longueur de la corde de l'arc s.
764. Soit maintenant une aire plane homogène ou décomposable en tranches homogènes parallèlement à l'axe desj}'. La masse d'une tranche étant pjdx, son moment par rapport à l'axe des 7 sera pxydx, et par suite le moment de l'aire totale sera
fpa-ydx — ^fpydje,
d'où l'on tirera l'abscisse \ du centre de gravité. Si l'aire est homogène, on aura simplement
„ f xyd.v
Pour avoir le moment de l'aire par rapport à l'axe des x, remarquons que le moment du rectangle infinitésimal pjdx est égal à sa mass'e multipliée par l'ordonnée de son centre de gravité. Ce centre, coïncidant avec le centre de figure du rectangle, a pour
ordonnée -y. On en conclut que le moment de l'aire totale par
