CENTRES DE GRAVITÉ

rapport à l'axe des x est

d'où l'on tire yj. Si l'aire est homogène,

n~ Srdx

Exemples. — - I. Soit un segment de la parabole y2 = iclx, compris entre la courbe et l'axe des x. En désignant par 1 l'aire du segment, on a

/ = / yclr. = - I rdy = —-=.- xjr, Jo aJo 3a 3

Cx ■ Çx ,

xç = I arjAc = — / y*

/»# = ! ax

dy — - — = - x2y 10a 5

r / / «r Aïj = - I y- dx = | axdx z= 5

d'où l'on tire

II. Cherchons le centre de gravité d'un secteur circulaire homogène. Il se trouve d'abord sur le diamètre bissecteur. Si Ion partage ensuite le secteur donné en secteurs ou triangles infiniment petits, le centre de gravité de chacun de ceux-ci se trouvera aux

- de la distance du centre à la circonférence, de sorte que le lieu

de ces centres de gravité élémentaires sera l'arc concentrique à l'arc du secteur donné, et décrit avec un rayon égal aux - du rayon

donné. On est donc ramené à la recherche du centre de gravité d'un arc, problème résolu dans le numéro précédent.

765. Théorèmes de Gulditi. — I. Nous avons vu que l'intégrale J y ds représente le moment d'un arc de courbe par rapport à l'axe des x, moment qui est égal au produit syi de la longueur de l'arc par l'ordonnée de son centre de gravité. D'autre part, l'aire de la surface de révolution décrite par l'arc s tournant autour de l'axe

des x a pour valeur iizjyds [754]. Donc la valeur de cette aire peut aussi se mettre sous la forme iTtr\.s, c'est-à-dire que Taire de révolution engendrée par l'arc s est égale à la longueur de cet arc, multipliée par la circonférence décrite par son centre de gravité.

Si, au lieu d'une révolution entière, le plan de la courbe ne décrit qu'une fraction de tour autour de l'axe situé dans ce plan, l'aire de la surface et le chemin parcouru par le centre de gravité décroîtront dans le même rapport. Donc l'aire de la portion de surface décrite sera toujours égale à l'arc de méridien, multiplié par le chemin décrit par le centre de gravité de cet arc.

Ce théorème permet de calculer l'aire de la surface de révolution, connaissant le centre de gravité de la courbe, et, réciproquement, de trouver le centre de gravité de l'arc de courbe, connaissant l'aire de la surface engendrée.

Exemples. — i° Soient a le rayon d'un cercle, b la distance de son centre à un axe situé dans son plan. La longueur de l'arc de cercle est 271 a; la circonférence décrite par son centre de gravité dans la révolution du cercle autour de l'axe est 2T.b. Donc l'aire du tore engendré a pour valeur

2 n a . 2 7T b = 4 rc2 ab .

2° Si l'on fait tourner un arc de cercle autour d'un diamètre parallèle à sa corde c, a étant le rayon, l'aire de la zone engendrée sera 2uac. En l'égalant au produit de l'arc s par la circonférence o.nr, décrite par son centre de gravité, on retrouvera la valeur ac

1 obtenue au n° 763.

766. II. Le moment d'une aire plane ~k par rapport à l'axe des x est In = - Jj- dx. D'autre part, le volume engendré par la révolution de l'aire 1 autour du même axe est V = ît fj-dx. Donc

V = 2 7TÏJ . À,

c'est-à-dire que le volume est égal à l'aire génératrice multipliée parle chemin décrit par le centre de gravité de cette aire.

Cet énoncé subsisterait encore si, au lieu d'une révolution en-