CENTRES DE GRAVITÉ

tière, l'aire génératrice n'avait accompli qu'une fraction de révolution.

Exemples. — i° En appelant a le rayon d'un cercle, h la dislance du centre du cercle à l'axe de révolution, on a, pour le volume du tore engendré,

■ko2. 2 7v b — irrcr b.

i° Si l'on fait tourner un secteur circulaire de rayon a autour d'un diamètre parallèle à la corde c, le volume du secteur sphé-

nque engendre sera iv:a.c.-a~ -iza-c. L aire du secteur est - as, s étant la longueur de l'arc. Donc, yj étant la distance du centre

de gravité du secteur circulaire au centre du cercle, on a

a . i j, , "2 ac

— na-c =: 2 7r/j .— as, clou vj r= — — , 5 2 3 s

comme nous l'avions trouvé par une autre voie [764].

767. Volume du cylindre tronqué. — Considérons un cylindre parallèle à l'axe des z, et qui ait pour section droite une aire A tracée sur le plan des xy. Considérons une section plane quelconque, faisant avec la section droite un angle a. L'élément de cette section, qui a pour projection d~k sur le plan des xy, aura pour grandeur dans l'espace dlsécoc. Le moment de la section par rapport au plan des zx sera donc fy. dl séca. D'ailleurs, l'aire totale de la section est 1 séca; donc on aura

r jy > frdl

r, .). sec a = J y cl A sec a, ou vj = ^- — — ,

valeur indépendante de a. Il en serait de même pour la valeur de \. Donc le lieu des centres de gravité de toutes les sections planes d'un cylindre est une droite parallèle aux génératrices.

Cela posé, cherchons le volume compris entre la section droite et une section oblique quelconque 1'. Prenons le plan des xz perpendiculaire au plan de À', et par suite l'axe des y parallèle à ce plan. Si l'on décompose a' en éléments rectangulaires infiniment petits du premier ordre, parallèles à l'axe des y, et se projetant

■1&0 LIVRIÎ III. — CIIAP. III, § IV.

sur le plan des xy suivant des rectangles dl, le volume sera donné par l'intégrale J zdl. Or le moment de la section X' par rapport au plan des xy est J1 zdl' ou f zdl séca = 1'? = Çk séc<z, £ étant l'ordonnée du centre de gravité de cette section. Donc

J 'zdl —- 'O- — le volume du cylindre tronqué.

Donc ce volume est égal au produit de la section droite par la dislance des centres de gravité des deux bases. On étendrait immédiatement cette proposition au cas où les deux bases seraient des sections quelconques.

On voit que le volume d'un cylindre n'est pas altéré lorsque l'on fait tourner d'une manière quelconque une de ses bases autour du centre de gravité de cette base.

768. Si l'on considère maintenant un corps solide quelconque, la masse de l'élément de volume étant pdxdydz, les coordonnées du centre de gravité seront données par les équations

M% =jyj"pjcd.rdydz, Mo = ffjpyd.icdydz, M.'£,—fffpzdxdydz,

M étant la masse totale du corps.

Si le corps est homogène, V étant son volume, on aura M = Yp, et la constante p disparaîtra des équations précédentes. On pourra, dans ce cas, effectuer immédiatement l'intégration par rapport à l'une des trois variables, à z par exemple, et l'on aura, z et Z étant les ordonnées de la surface inférieure et de la surface supérieure du corps,

Yc-=ffx{Z - z)dxdy, Yr, = J>(Z - z)d.rdf, VC=lff(7J-z>)dxdy.

769. Moments d'inertie. — - On appelle moment d'inertie d'un point matériel m, par rapport à un plan, à un axe ou à un point, le produit de la masse de ce point m par le carré de sa distance au plan, à l'axe ou au point. Le moment d'inertie d'un système est la somme des moments d'inertie des points matériels qui le composent.

Si l'on rapporte les points à trois axes rectangulaires, les mo-

MOMENTS D'INERTIE. 2ÔI

ments d'inertie d'un point m par rapport aux plans des yz, des zx et des xy seront mx2, my2, mz2, et par suite les moments d'inertie du système total par rapport à ces mêmes plans seront

a = D m .r2, b =: 2 mr"2, c = 2mzl

Le moment d'inertie de m par rapport à l'axe des x est

m [y -r- z ) = /nj'--(- m 3-,

Donc, le moment d'inertie du système par rapport à cet axe sera

et de même pour les autres. On aura donc, pour les moments d'inertie du corps par rapport aux trois axes coordonnés,

De même, le moment d'inertie du système par rapport à l'origine des coordonnées sera

Si le svstème est continu, les sommations se changent en intégrales.

770. On traitera les divers cas qui peuvent se présenter dans la détermination des moments d'inertie comme nous avons traité les cas analogues dans la détermination des centres de gravité.

Ainsi, pour le cas d'un système plan, on a

a = f.v~dm, b = fy% dm , c — o,

d'où

A = b, B = a, C = a + b = f(x* -+■ r2 ) dm .

Si l'on cherche les moments d'inertie d'une sphère homogène, on a

/.r2 dm = ff dm = fz* dm = ■- f (.r2 -f- j2 -+- z2 ) dm. Or, en faisant x2-\-y2 -!- z2=. r2 et supposant la densité = i , l'élé-

menl dm sera une couche sphérique ^itr^dr, d'où

a = b = c=^/r^=4^R5 *MR2 3 J ib 5

M étant la masse de la sphère, R son rayon. On aura donc

A = B = C = 2a=| MR2.

Pour un cercle homogène,

a = b = - f(x2 4- j2) dm = - fr-2.iTtrdr— y R4 = - MR2,

d'où