ASYMPTOTES RECTILIGNES HES COURBES PLANES

523. On entend par asymptote rectiligne d'une courbe donnée une droite dont une branche infinie de la courbe s'approche indéfiniment. Supposons d'abord la courbe rapportée à des coordonnées rectilignes.

Evidemment il est indifférent, dans ce cas, de compter la distance d'un point de la courbe à l'asymptote suivant une perpendiculaire ou suivant une oblique à cette asymptote, pourvu que ce soit suivant une direction faisant avec l'asymptote un angle Jïni et différent de zéro. On peut donc compter cette distance suivant une parallèle à l'axe des y, toutes les fois que l'asymptote ellemême ne sera pas parallèle à cet axe.

On est ainsi conduit à distinguer deux cas dans la recherche des asymptotes : celui où l'on cherche les asymptotes parallèles à l'axe des y, et celui où l'on cherche les asymptotes non parallèles à cette direction.

Remarquons que l'on pourrait ramener le premier cas au second, en échangeant entre eux les axes des x et desj}\ Et réciproquement, toutes les fois qu'il ne s'agit pas d'asymptotes parallèles à l'axe des x, on pourrait ramener le second cas au premier, en cherchant, par une transformation de coordonnées, quelle direc-

H. — Cours de Cale, infinie, II. 2

l8 LIVRE III. — CHAP. I, § II.

tion il faudrait donner à l'axe des y pour que la courbe admît des asymptotes parallèles à cet axe.

52 i. Asymptotes parallèles à l 'axe des y. — Supposons que le premier membre de l'équation de la courbe se présente sous la forme d'une série, composée d'un nombre fini ou infini de termes, et ordonnée suivant les puissances décroissantes dej^; et, de plus, qu'aucun des coefficients de ce développement ne devienne infini pour les valeurs particulières de x que nous aurons à considérer. Ce cas comprend évidemment celui des courbes algébriques dont on a ramené l'équation à la forme entière et rationnelle. Soit donc

l'équation proposée, /, m, . . . étant des nombres, entiers ou non, positifs ou négatifs, mais algébriquement décroissants, de sorte que l'on ait l ^> ?n^> . . . . Il faut chercher si l'équation peut être vérifiée en attribuant à la fois une valeur finie à x et une valeur infinie ky.

Divisons le premier membre de l'équation par la plus haute puissance dey, ce qui donne

Il est clair que cette équation, dont tous les termes, à l'exception du premier, sont multipliés par des puissances négatives de y, sera vérifiée, en donnant, d'une part, à x une valeur qui annule le premier terme fK [x) sans rendre les coefficients suivants/*2 {x),. . . infinis, et, d'autre part, h y une valeur infinie. On obtiendra donc les abscisses auxquelles correspondent des asymptotes parallèles auxj', en égalant à zéro le coefficient de la plus haute puissance dey.

Etant donnée, par exemple, l'équation du second degré

ax"- -(- bxy ■ -f- ex -+- dj -h e = o,

on aura l'asymptote parallèle à l'axe des y, en déterminant x par l'équation bx -h d = o.

Remarquons que, pour qu'une racine de l'équation ft (x) = o

corresponde à une asymptote réelle de la courbe, il faut que la courbe ait une branche réelle dans le voisinage de cette asymptote. Ainsi, la courbe x2j2 — ax -h h- = o n'ayant pas de points réels pour x très-peu différent de zéro, on ne peut pas dire que l'équation x- = o détermine des asymptotes de cette courbe. Cette remarque s'étend aussi aux autres cas de détermination des asymptotes".

525. Asymptotes parallèles à l'axe des x. — On verra, absolument de la même manière, que les asymptotes parallèles à l'axe des x peuvent s'obtenir en ordonnant l'équation de la courbe suivant les puissances descendantes de x, et égalant à zéro le coefficient de la plus haute puissance de cette variable. — On peut, d'ailleurs, faire rentrer la recherche des asymptotes parallèles à l'axe des x dans le cas plus général qu'il nous reste à traiter.

526. Asymptotes non parallèles à V axe des y. — Nous allons traiter cette question dans la supposition que le premier membre de l'équation de la courbe soit ordonné en une série, finie ou infinie, de groupes homogènes par rapport à x et ky, dont les degrés forment une suite décroissante.

L'équation peut se mettre immédiatement sous cette forme, toutes les fois que son premier membre est une fonction algébrique, entière et rationnelle, de x et de y, ou plus généralement, de puissances quelconques x'K, j |A de ces variables. Pour l'y ramener, s'il est possible, dans les autres cas, posons, dans l'équation F(x.y) — o, j = tx, et développons la fonction F(x,tx) suivant les puissances descendantes de x. On obtiendra ainsi un développement de la forme

/, m, 7?, . . . étant des nombres algébriquement décroissants; et en

y mettant pour t sa valeur-? l'équation devient

Pour qu'une droite, représentée par l'équation

y = ax -+- b,

soit asymptote de la courbe, il faut que la différence

j — ax — b = î,

entre l'ordonnée y de la courbe et l'ordonnée ax -\- b de la droite, soit infiniment petite pour x infiniment grand. Or on a, en résolvant la dernière équation par rapport au coefficient angulaire a,

et puisque b -f- e doit avoir une limite finie b pour x = oo , on en conclut

a = lim '- .

On a ensuite, en mettant pour a la valeur constante ainsi déterminée,

b — y — ax — s =z lim (j- — ax).

527. Si l'on divise l'équation (i) par la plus haute puissance de

y, on a

Cette équation sera satisfaite, si l'on suppose à la fois x infini et lim - égal à l'une des racines de l'équation

que l'on obtient en égalant à zéro l'ensemble des termes du degré le plus élevé, dans lesquels on fait x = i , y = a.

On suppose ici que Ion a préparé l'équation de telle manière qu'aucune des fonctions x(a) , 4'(a)> • • • ne devienne infinie, lorsqu'on prend pour a une des racines de l'équation (3).