Pour déterminer maintenant l'ordonnée à l'origine b de
l'asymptote, posons^ — ax~ (3, d'où- = a-\- — » etconsidérons
d'abord le cas où a est une racine simple de l'équation (3). On aura, à cause de ©(a) — o,
D'après cela, l'équation (2), multipliée par x, peut s'écrire sous la forme
(4) H(. + ,l) + ^lX(. + i)
Si la différence /- — m entre les degrés des deux premiers groupes de l'équation (1) est plus grande que l'unité, cette équation devient, pour x. -■= co , b = limjS,
bf'(a-) =0,
et, ^(a) n'étant pas nul, on a b = o. Donc, dans ce cas, toutes les asymptotes de la courbe qui correspondent à des racines simples de (3) passent par l'origine.
Si / — m = 1, il vient alors
Si / — m<^i, avec x{a) différent de zéro, l'équation, contenant un terme affecté de la puissance positive x~l+m+l de x, donnera, pour x — co , b == co , et par conséquent il n'y aura pas d'asymptote pour cette direction. Tel est le cas que présente la courbe
Mais si x{a) — °> et cIue M{a) s°it la première des fonctions X{a)> ty(a)i - • • 1 qui ne s'annule pas pour la valeur considérée de a, l'équation deviendra
i) + ...+^ul. + i\
et 1 on en conclura 0 = 0, ~ — -> co , suivant que L — p sera
^> I , =i- I , OU <^ [ .
529. Supposons maintenant que a soit une racine double de (3), <p'(rt) étant nul et rf'(a) différent de zéro. En poussant alors
jusqu'au troisième terme le développement de <ç ( a -{ — ] ? et multipliant l'équation (2) par x-, il vient
Si / — m ^> i, j32 = o, et la double asymptote, correspondante à la racine double de l'équation (3), passera par l'origine. Si l — m — 2, on aura
2/Jtf)
Si cette valeur est réelle, la courbe aura deux asymptotes distinctes, parallèles entre elles.
Si l — m <^ 2, sans que x(a) s0lt nin? ^ est innni> et il n'y a pas d'asymptote pour cette valeur de a; mais si x{a) — °> en développant x ( a -+- - ) -, l'équation devient
2^ V \ #/ a:'-»2-1 Vf- \ xj x'-,l~- • \ x
Si l'on a à la fois / — /?z^ i, / — n^2, b sera donné par une équation du second degré. Si l'une des différences l—m — i, / — n — 2 est négative, sans que x' ia) et ^ (a) s'annulent, il n'y a pas d'asymptote, et ainsi de suite.
On verra de la même manière que, si a est une racine triple de l'équation (3), la valeur de b, lorsqu'elle est finie, est donnée par une équation du troisième degré, et ainsi de suite.
530. Asymptotes des courbes rapportées à des coordonnées polaires. — Si une branche de courbe infinie a une asymptote rectiligne, alors, pour un point de cette branche infiniment éloigné, le rayon vecteur fera un angle infiniment petit avec l'asymptote, et sera infiniment grand; donc on aura r = co pour une valeur déterminée a de l'angle p, et cette valeur sera l'angle de l'asymptote avec l'axe desx. Par conséquent, on aura les directions qui peuvent correspondre à des asymptotes, en cherchant les valeurs ce de l'angle p qui répondent à /* = 00 .
Fig. 41.
Km
Il faut, de plus, que la distance MQ (Jîg- 41) du point infini-
ment éloigné M, à la parallèle menée à l'asymptote par l'origine, tende vers une limite finie PQ, qui sera la distance de l'asymptote à l'origine. Cette distance MQ = § a pour valeur r sin [p — a). Il faudra donc chercher la limite d pour p = y. et r = ao de l'ex-
pression r sm(p — x) = r[p- — y.) —~ p c est-a-dire la quantité
d = lim r[p — a).
531. Pour pouvoir traiter généralement la question, nous supposerons que l'équation entre r et p puisse être ordonnée suivant les puissances décroissantes de r en une série finie ou infinie, supposition qui revient à celle que nous avons admise [526] dans le cas des coordonnées rectilignes. Soit donc l'équation
où l'on suppose l^> m^> tz^> . . . . De plus, nous admettons que, en multipliant par un facteur convenable, on ait fait en sorte que les coefficients x{p)> 4/(/j>)» • • • ne deviennent infinis pour aucune des valeurs particulières de p que l'on aura à considérer.
En raisonnant comme nous l'avons fait [524] dans la recherche des asymptotes parallèles à l'axe des y, on voit que l'on obtiendra des valeurs p = x, qui répondent aux valeurs infinies de r, en posant <p(a) = o.
Soit maintenant
p = ex. -\- s,
et cherchons la limite d de r[p — a) = re. On a, en substituant à p sa valeur y. + s, et divisant par rl~' ,
Cette équation, étant entièrement semblable à l'équation (4) du n° 528, donnera lieu à une discussion identique, sur laquelle il est inutile de revenir.
Exemple. — Soit l'équation d'une section conique
i H- e cosp = o.
