II

On a ici

i + e cosp

L'équation ç(«) = o donne cosa = 5 valeur inadmissible pour

e <^ i . On a ensuite

y'(«) ~ - csin« ~~ + ^^^T'

valeur infinie pour e = i , finie pour e ^> i .

532. Limite de la tangente en un point d'une branche infinie, — Si la tangente à une. branche de courbe tend vers une position limite déterminée, lorsque le point de contact s'éloigne indéfiniment, cette position limite sera, en général, une asymptote à la courbe. Nous allons le démontrer pour le cas où l'équation peut être ordonnée suivant les puissances décroissantes de y ou développée en série de groupes homogènes de degrés décroissants, comme nous l'avons fait pour traiter la théorie des asymptotes.

I. Supposons d'abord l'équation mise, comme au n° 52-1, sous la forme

y/i (*) + jmA [■*) -:- - • • = o.

On tire de cette équation

,ly r[/,'M+^/,'W + -.]

Cette valeur devient infinie si l'on prend pour x une valeur xt, pour laquelle on ait à la fois fK [xK ) = o, j r ==. oo , en supposant f[(x{) différent de zéro. Alors l'équation de la tangente

l — x— j-[-Q— l) dx

se réduit à \ = x{, et la tangente coïncide avec l'asymptote parallèle à l'axe desj^, déterminée au n° 52i.

On traiterait de même le cas où l'équation serait ordonnée suivant les puissances décroissantes de x.

533. IL Dans le cas d'une tangente limite non parallèle à Taxe des r, la règle de la recherche des vraies valeurs [381] donne, pour x et y infinis,

,. dx v y

lim -- = Jim - ; dx x

donc, lorsque -f- tendra, pour x et r infinis, vers une limite dé- 1 dx

terminée, cette limite sera la même que celle de - •> c'est-à-dire que

le coefficient angulaire de l asymptote.

Pour l'ordonnée à l'origine de la tangente, on a

dr T'»=J-Xdx'

mais, comme — n est jamais e°al a sa limite a, mais en diiiere

' • dx J ° '

d'un infiniment petit s, on ne peut pas, sous cette forme générale, affirmer que limr/0= lim[^ — [a-he)x] sera toujours égale à l'ordonnée à l'origine de l'asymptote, lim(j — ax). Nous verrons, en effet, qu'il peut exister, dans certains cas, une asymptote, sans que la tangente à la branche infinie tende vers une limite fixe.

Considérons le cas où l'équation peut se mettre sous la forme (i) dun°526,

F (a?, y) =x!?('-) -hx'"z [J- ) +. ..:=o.

On en tire

+ ffl«m-1x(-

ou, en retranchant du second membre le produit nul

-r- =— U — 7)i)x'"- Ox v '

Ensuite

donc

dF l — m (y

dy dx y

dy \*J xl-"l/" \x)

Si donc - tend vers une limite finie a, qui ne rende infinie au-

cune des fonctions %(«), • • • , et qui n'annule pas </(«), -y- tendra

vers la même limite, d'où

y dï y y

hm — — hm - = a.

dx x

C'est ce qui aura lieu encore, si l'on a çp'(«) = o, avec xia) ~ ° et '//(a) difFérent de zéro, etc.

On a ensuite, pour l'ordonnée à l'origine de la tangente,

dy x'-"1-1 Z \ r j

dx ,(y\ i (y\

Dans le cas où (ç>'(a) ne sera pas nul, cette expression aura, comme l'ordonnée à l'origine de l'asymptote, pour limite

selon qu'on aura / — m^> i , = i , <^ i •

Les cas exceptionnels de cette formule donneraient lieu à une discussion analogue à celle que nous avons faite pour les asymptotes [528, 529].

534. Si la courbe est rapportée à des coordonnées polaires, et

Fig. 42.

que la tangente ait une limite fixe HI {fig. 4a), la distance OH

de cette limite à l'origine sera la limite de la perpendiculaire abaissée de l'origine sur la tangente, c'est-à-dire Iim7'sin0; ou encore ce sera la limite de la sous -tangente OT, c'est-à-dire

lim ;• tang 9 = lim — •

On cherchera donc d'abord, comme dans la théorie des asymptotes, la valeur de p pour laquelle r = oo . On examinera ensuite

si — tend vers une limite finie, lorsque p approche de sa limite a.

Or, en supposant, comme au n° 531 , l'équation ordonnée suivant les puissances décroissantes de ;*, on trouvera, par une réduction analogue à celle du numéro précédent,

■ry(Py+r'"x!(p)-*----

[l — m)rm--/{p) -+-...

d'où

ri ri—m-\ y~[p) ~^~ ■ • ' S* = -7 = :

expression qui, en supposant <j/(a) différent de zéro, aura, pour p =. a, la même valeur limite que d [531 ].

535. On peut donc obtenir généralement les asymptotes, en cherchant les limites des tangentes à l'infini, quand ces limites existent.

Exemples. — I. Soit la courbe

On a d'abord

Jz =z COS

xsvn. .r- y

dy .t.

dx . y

y sin —

Or, pour x = oo , y étant fini,

lim ( x sin — j =. lim I y

— limj=:i±: r

Donc lim -~ = o : ensuite

cl y ix^y

dx . . y

">,x- y — x sin —

quantité quia pour limite limj^ = ±i; donc la courbe a pour tangentes limites à l'infini les droites y = -f- 1, y — — i , qui sont les asymptotes.