Caustique par réfraction d'une ligne droite

56. Étant donnés deux points A, B, trouver une courbe telle qu'elle réfracte

(ou réfléchisse) tous les rayons partis de A, de manière qu'ils aillent tous passer par B après la réfraction (ou la réflexion).

57. Trouver une courbe telle que l'angle 0 de la tangente avec le rayon vecteur

soit une fonction donnée de l'angle polaire p. — Exemples : 9 = a, p, ip, np.

58. Trouver une courbe telle que l'accroissement de l'angle de la tangente avec

l'axe des x soit proportionnel à l'accroissement de l'abscisse.

59. Trouver la courbe pour laquelle la projection de la tangente sur le rayon

vecteur est constante.

60. Trouver la courbe pour laquelle la podaire de l'origine est un cercle.

61. Trouver la courbe qui a une courbe donnée pour le lieu des extrémités de

sa sous-tangente polaire ( Exemples : r — — — , r ~ ■ ) ou de

\ cos/? 1 -+- e cos/7 /

sa sous-normale polaire ( Exemples : r = — — , r = ) •

r V sin/>> i-i- cos/j/

62. Déterminer une courbe, étant donné le lieu du milieu de la normale po-

ds laire N = -r- • — Cas où ce lieu est une perpendiculaire à l'axe des x.

63. Étant donnée une conique C, trouver toutes les coniques C qui coupent C à

angles droits aux quatre points où elles la rencontrent.

1 . Appliquer les théories exposées dans le Chapitre II à l'étude des courbes

suivantes :

( 2 ) ax = j2 -t- z2, by2 = .r2 -t- 32.

(3) 62(rt2 — x*) = cfl (j24- s2), fl2J2 = fc(ax — o;ï).

(5) y3=x2z, xy=az.

(6) y*=x*{z-f), ay=&.

(7) ax = y"-, by= z2.

(8) ax=yî, z2-i-j2= o2.

( 9 ) ^ -+- f~ — a2i a%r2 = (l' z% — J2 z~ • (10) (a— x)-y- = x3, cfi = yz.

(tï) A'2— c?- = j2, j2 — a2 = z2.

2. Développer sur le plan des zx (en développant [ 7-19 J le cylindre qui les

projette sur l'un ou sur l'autre des deux autres plans coordonnés) les courbes représentées par les équations

( i ) ax = j2, j2 -+- z2 — a2.

(i) ay = z2, ax3=z'*.

(3) ax = y-, y6 — 6a2 y'* -+- iia'+y*1 — 8«6 — g«4z2.

H. — Cours de Calcul infin., II. lo

3. Courbes décrites à l'aide d'un compas sur les surfaces suivantes : ( i ) j2 -4- z2 = a2.

(2) z2 = ?ixy.

(3) Cône oblique à base circulaire.

4. On donne un point A sur l'axe des x, une courbe /(j, z) — o sur le plan

des yz, et l'on prolonge toutes les droites AM menées à cette courbe d'une longueur constante. Équations du lieu des extrémités. — Exemple : ay = z2.

5. En chaque point d'un cercle, on élève sur le plan de ce cercle une perpen-

diculaire égale à la sous-tangente correspondante, le cercle étant rapporté à deux diamètres rectangulaires. Lieu des extrémités de ces perpendiculaires.

G. Une génératrice d'un cône de révolution, se mouvant uniformément sur la surface, est parcourue par un point mobile suivant une loi donnée. Étudier la courbe que décrit ce point. — Exemples : i° le point se meut uniformément ; 1° il a un mouvement uniformément accéléré ; 3° la courbe coupe la génératrice sous un angle constant.

7. Sur un cône de révolution de o"',73 de hauteur, on enroule un fil auquel

on donne la forme d'une spirale conique à spires équidistantes, le nombre de ces spires étant de 3o, du sommet jusqu'à la base, et la distance entre deux spires, comptée sur la génératrice, étant de om,o3. Quelle est la longueur du fil?

8. Lieu des points de contact des tangentes menées d'un point donné sur l'axe

des y à la surface ax = y2 -+- z2.

9. Une courbe C étant tracée sur une surface donnée, on mène la surface

développable tangente à la surface donnée suivant cette courbe, puis on développe sur un plan la surface développable avec la courbe C. Soient R le rayon de courbure de la courbe C dans l'espace, p le rayon de courbure de cette courbe après le développement, i l'angle du plan osculateur de la courbe dans l'espace avec le plan tangent à la surface au même point : démontrer que l'on a R = p cos/.

10. Les lignes de courbure du cône ax'1 -+- byn -+- czn = o sont les génératrices

d'une part, et de l'autre les courbes d'intersection du cône avec des sphères décrites du sommet comme centre.

11. Un cylindre ayant pour section droite la courbe /( x, y) = o, une courbe

donnée se meut de manière qu'un de ses points décrive l'axe des x et que son plan soit toujours normal à la courbe f{x,y) = o. Lieu de l'intersection de cette courbe avec le cylindre. — Exemples : Équation du cylindre ax— y2; équation de la courbe mobile (rapportée à son plan) ùx= z2.

12. Trouver, sur un cylindre de révolution, l'équation différentielle des courbes

qui ont un rayon de courbure constant.

13. a, b, c étant les cosinus des angles que la tangente à une courbe fait avec

les axes coordonnés ; /, m, n les cosinus des angles de l'axe du plan osculateur avec les mêmes axes ; p et /• les rayons de première et de seconde courbure, démontrer les relations

dn db de r (Il dm dn p

14. Conclure de là que l'hélice est la seule courbe pour laquelle le rapport - est

constant, et que l'hélice à base circulaire est la seule courbe pour laquelle p et /• soient constants.

Jd. Si une courbe non plane a son rayon de courbure constant, le lieu de ses centres de courbure a aussi son rayon de courbure constant, et, de plus, la première courbe est le lieu des centres de courbure de la seconde.

16. Étant donnée l'équation f[x: j, z) = o d'une surface, trouver le lieu du

milieu de la portion de la normale en chaque point de la surface qui est comprise entre la surface et le plan des xy. — Application aux surfaces du second degré.