Lignes de courbure d'une surface de révolution

30. Étude de la surface de révolution engendrée par la tractoire tournant autour

de son asymptote. Mesure de la courbure de cette surface.

31. On prend pour axes des coordonnées sphériques deux grands cercles AX,

AY, rectangulaires entre eux, et ayant pour pôles respectifs les points Y et X. La position d'un point M de la surface sphérique est déterminée par les points d'intersection P, Q des arcs (de grands cercles) YMP, XMQ avec les arcs AX, AY (les distances étant comptées soit de o à ± n-, soit de o à z-k). Si l'on pose tangAP= X, tangAQ = Y, quelles seront, dans ce système, les équations i° d'un arc de grand cercle, 20 d'un arc de petit cercle (dans diverses positions), d'une conique sphérique, d'une loxodromie, d'une cycloïde sphérique, etc. ? — Expressions de l'élément d'arc et de l'élément superficiel en fonction des coordonnées sphériques rectangulaires X, Y. Application au problème de Viviani, à la loxodromie, etc. — Traiter, sur la sphère, les problèmes analogues à ceux qui ont été traités au Chapitre I, relativement aux courbes planes ( tangentes et normales, rayon et cercle de courbure, développées, enveloppes, etc.).

32. Étudier la courbe [loxodromie) qui coupe tous les méridiens d'une sphère

sous un angle constant. — Construction des cartes réduites , ou repré- . sentation sur un plan des divers points de la sphère, de manière que les points d'une même loxodromie soient situés en ligne droite. Longueur, sur la carte réduite, du degré de latitude à partir d'une latitude donnée. — Expression, au moyen de la longitude et de la latitude, des coordonnées rectangulaires d'un point de la carte réduite, et vice versa.

33. Longueur d'un voyage de Hollande à Batavia, suivant des arcs de loxodroraie

ayant pour extrémités les points suivants :

Longitude. Latitude.

Kijkduin 4.43.26 E. 52.57.6 N.

Rio-Janeiro 43- 1 0. 22.54 S.

Ile Amsterdam 77-52 E. 37.54 S.

Batavia io6.54-3o E. 6.12 S.

34. En prenant pour coordonnées sphériques la distance sphérique r d'un point M

au pôle fixe P et l'angle p que fait l'arc de grand cercle PM ou r avec un demi-grand cercle fixe partant du point P, étudier les courbes représentées par les équations

r = ap, (a = i, 2, J, •

a ?'=—-, r =n aenP.

r=asmp, r = a log/?.

— Expressions de l'élément d'arc et de l'élément d'aire.

35. Problème de Viviani. — Sur un rayon OA d'une sphère donnée, pris comme

diamètre, on décrit un cercle, sur lequel on élève un cylindre droit. Étudier la courbe d'intersection de la sphère et du cylindre, rapportée aux divers systèmes de coordonnées. — Calculer l'aire de la portion de sphère restée, en dehors du cylindre , et l'aire de la portion de surface cylindrique comprise à l'intérieur de la sphère.