Aire comprise entre une ellipse et sa développée

11. Aire comprise entre deux cissoïdes de môme cercle directeur et tournées

en sens inverse, de manière que chacune ait son point de rebroussement sur l'asymptote de l'autre.

12. Aire comprise entre l'ellipse — -f- — = 1 et la parabole/2 = -xcx.

13. Relation entre l'arc d'une courbe donnée et l'arc correspondant d'une

courbe parallèle. — Aire comprise entre ces deux courbes et deux normales communes.

14. Un segment de parabole, compris entre la courbe, son axe et une ordonnée

perpendiculaire à l'axe, tourne autour de la tangente à la parabole menée par l'extrémité de cette ordonnée. Calculer le volume engendré.

15. Volume engendré par la révolution autour de l'axe des x d'une courbe rap-

portée à des coordonnées obliques dont l'angle est 9. — Mesure de l'aire de la surface engendrée. — Exemples : i° ellipse rapportée à deux diamètres conjugués; 1° parabole rapportée à un diamètre quelconque; 3° hyperbole rapportée soit à deux diamètres conjugués, soit à ses asymptotes.

16. Volumes engendrés : i° par une conchoïde tournant autour de son axe de

symétrie; a° par une cissoïde tournant autour soit de son axe de symétrie, soit de son asymptote, soit de la parallèle menée par le sommet à l'asymptote; 3° par une cardioïde tournant autour de son axe de symétrie.

17. Volume de la portion d'un tronc de cylindre de révolution comprise entre

deux plans passant par l'axe.

18. Partager le volume d'un cône de révolution en deux parties équivalentes

par un plan parallèle à une génératrice.

19. Étant donné un segment d'hyperbole compris entre deux ordonnées perpen-

diculaires à l'axe transverse, calculer le volume engendré par le segment tournant autour de Tune de ces ordonnées. — Exemple : ia = io, %b = 8, les ordonnées répondant à x = a et à x = ia.

20. Problème analogue pour la parabole j2 = ikx. — Exemple : x = c et $c.

Déterminer c de manière que la différence des volumes obtenus en faisant tourner le segment successivement autour de chacune des deux ordonnées soit égal à imc, le paramètre ik étant égal à 9™.

21. Volume compris entre deux cylindres droits dont les bases sont des para-

boles situées dans deux plans perpendiculaires, de telle sorte que l'axe de l'une soit la tangente au sommet de l'autre, la distance des deux sommets étant donnée.

22. Une sphère de rayon a est coupée par une surface prismatique ayant pour

base un carré de côté ib. Calculer la surface sphérique et le volume interceptés par le prisme.

23. Une sphère coupe un cylindre de révolution. Prouver que la surface totale

de la portion de cylindre intérieure à la sphère est égale au produit du diamètre du cylindre par le périmètre d'une ellipse ayant pour axes les segments maximum et minimum interceptés par la sphère sur les génératrices du cylindre.

24. Une génératrice d'un cône circulaire droit faisant une révolution entière

pendant qu'un point mobile parcourt cette génératrice d'une extrémité à l'autre, les deux mouvements étant uniformes, déterminer dans quel rapport la courbe décrite partage la surface latérale du cône.

25. Volume compris entre un cylindre f{x,y) = o, un cône ayant son sommet

à l'origine des coordonnées, un plan y=mx et le plan des xy. — Exemple : Le cylindre et le cône se coupent suivant la courbe ax = j2, ay= z2.

26. Du sommet A d'une parabole on mène une corde ANB sous-tendant l'arc

AMB. Un carré, dont le plan est perpendiculaire à l'axe de la parabole, et qui a son côté égal et parallèle à la portion MN de l'ordonnée de la parabole, comprise entre la corde et l'arc, et son centre au milieu de MN, se meut d'une extrémité à l'autre de cet arc. Calculer le volume et la surface du solide engendré. — Problèmes analogues en remplaçant le segment de parabole par un demi-cercle, par un segment de cercle quelconque, par l'espace asymptotique d'une hyperbole équilatère ou autre, par un segment de cycloïde, etc.

27. Étant donné un segment ABC compris entre une parabole AB, sa tangente

au sommet AC et une parallèle BC à l'axe, sur chaque portion de parallèle à l'axe comprise entre l'arc AB et la tangente AC on construit un rectangle perpendiculaire au plan de la courbe, et ayant une hauteur égale à la portion du prolongement de sa base comprise entre l'arc et la corde AB. — Volume du solide engendré par ce rectangle variable. — Même problème en supposant la hauteur du rectangle : i° proportionnelle à sa distance au sommet A ; i° proportionnelle à sa distance à la droite BC; 3° égale à l'une de ces deux valeurs augmentée d'une constante.

28. Volume commun à deux cônes obliques ayant même base circulaire.

29. Un cône de révolution est coupé par un plan faisant avec la base un angle

donné et passant par une corde donnée de cette base. Calculer les volumes et les aires des deux parties. — Cas où le plan est perpendiculaire à la base.

30. Quelle est la courbe qui engendre par sa révolution un solide dont le vo-

lume soit égal à la portion d'axe interceptée, multipliée par la demisomme des bases circulaires?

31. Par un point O mener une courbe OMP satisfaisant à l'une des conditions

suivantes :

(i) L'aire du segment OMP, compris entre la courbe, l'abscisse et l'ordonnée, a un rapport constant avec l'aire du rectangle OPMQ des coordonnées.

(2) Le volume engendré par la révolution du segment OPM, autour de0.r, a un rapport constant avec le volume engendré par OPMQ.

( 3 ) La surface engendrée par la révolution de l'arc OM autour de O x a un rapport constant avec la surface engendrée par la parallèle QM à l'axe Ox.

32. Étant donnée la courbe y2 = ax, az2 = j3, calculer l'aire de la portion

du cylindre qui projette la courbe sur le plan des yz, comprise entre le plan des xy, la courbe et i° sa projection sur le plan x = x, %° sa projection sur le plan des yz. — Mêmes questions pour la courbe ax = j2, by — z2.

33. Volume compris entre le plan des xy, le plan x = a, et les deux cylindres

. , ( ax—y2, . . l ym = am~1x, ,., ( x4 — a2x2 = a2r2,

(1) \ , , ou 2 J , . 'ou (3) \ . 7 J '

7 j by = z2; v ' 1 zn = bn-^-y\ v ' { y2 — bz.

34. Volume compris entre les plans des xy et des yz, et les deux cylindres

x2 -+- j-2 = a2, et jk3 — <?2 {y — z) = o.

35. Aire de la portion du cylindre j2 -+- z- = a2 limitée par les plans des .rj et

des /z, et par le cylindre ax — y2.

36. Aire de la portion du cylindre by = z2 comprise entre les plans des xy et

des yz, le plan y = c et le cylindre ax —y2. — Même problème relativement aux deux cylindres a2 = yz, «6 = xy5.

37. Volumes compris entre les plans des xy et des yz, le plan y == c et les deux

cylindres

(1) ax —y2, et 72 -4- z2 = <72 ;

(2) fl2.r = j3, et yk -+■ z4 = rt4.

38. Volume compris entre les plans des xy et des yz, le plan .r = c et les cy-

lindres ax = y2, et jz = a2.

39. Volume compris entre les plans de xy et des xz, le plan x = c, et les deux

cylindres j4 = «4 — «2x2, et «2z4 = a2x'* — xe.

40. Volume compris entre les surfaces f[x, y, z) = o et F [x, y) = o, les plans

des xy et des xz, et le plan x = const. — Exemples :

( 1 ) JF3 = >£2z, jf2 = «^", x = a.

(2) z2 = 2-^jr, j2 = «#.

(3) x2-hy2 = ay, y= b.

(4) ■zjz = a3, ax = j2, les 3 plans coordonnés et x = c.

41. Deux galeries voûtées d'inégale largeur se rencontrent à angles droits.

Les sections des voûtes sont des demi-ellipses ayant pour axes horizontaux les largeurs respectives des galeries, les demi-axes verticaux étant égaux entre eux. Calculer l'aire de la portion de voûte projetée suivant le rectangle qui forme la partie commune du sol des deux galeries. — Calculer le volume de l'espace commun aux deux galeries.

42. On coupe un cylindre de révolution donné par un plan parallèle à son axe

et partageant, dans un rapport donné, le diamètre de la base auquel il est perpendiculaire. Calculer les deux parties du volume.

43. Un solide ayant la forme i° d'une sphère, i° d'un segment de paraboloïde de

révolution dont l'axe est vertical , 3° d'un cylindre circulaire ou parabolique à génératrices horizontales , est plongé dans un liquide dont la densité est n fois la sienne : calculer à quelle profondeur il s'enfoncera dans le liquide.

44. Dans un ellipsoïde de révolution autour de son grand axe, on inscrit un

cylindre de révolution de volume maximum. Déterminer les volumes et les surfaces des parties dans lesquelles ce cylindre divise l'ellipsoïde.

4a. On fait tourner une ellipse successivement autour de ses deux axes, et, dans chacun des ellipsoïdes obtenus, on inscrit un cylindre de volume maximum. Calculer le rapport de ces deux volumes maxima.

4G. On fait faire à l'une des branches d'une hyperbole une demi-révolution autour de sa tangente au sommet, de manière qu'elle vienne rencontrer l'axe imaginaire. On fait tourner autour de cet axe le segment ainsi déterminé. Aire et volume du solide engendré. — Exemples : ia = 10, ib = 8.

47.. Volume engendré par la courbe y = ax tournant autour d'une parallèle à l'un ou à l'autre des deux axes coordonnés, menée par un point quelconque de la courbe.

48. Les douves d'un tonneau sont de forme elliptique, et le tonneau est de révo-

lution autour du grand axe de l'ellipse. Il contient 200 litres; le diamètre de chacun des fonds est de om,535; celui de la bonde est de om,626. Calculer sa longueur.

49. Un tonneau a la forme d'un segment d'ellipsoïde à trois axes inégaux, ter-

minés par deux plans symétriques par rapport à l'un des plans diamétraux principaux. L'axe 2«, perpendiculaire au plan de symétrie, est horizontal, et le plan passant par cet axe et par l'axe ib fait un angle a avec l'horizon. Le tonneau est rempli de liquide jusqu'à une hauteur h au-dessus de l'axe ia. On donne la longueur il du tonneau, le diamètre de la bonde ib, et les deux diamètres principaux un et in de chacun des deux fonds. Calculer la quantité du liquide contenu.

50. Un tonneau à douves paraboliques contient 200 litres ; sa longueur, le

diamètre de la bonde et celui des fonds sont entre eux comme les nombres 7, 6, 5. Calculer ses dimensions. — Même question, en supposant i° le tonneau elliptique (comme ci -dessus), 1° le tonneau composé de quatre troncs de cône d'égale hauteur, et dont les rayons des bases sont connus.

51. Deux paraboles CAD, CBD, de sommets A et B, ont leurs axes AE, BE per-

pendiculaires entre eux, et une corde commune CD perpendiculaire à ces deux axes. Étudier la surface lieu des paraboles d'axe mobile AE et de sommet mobile A passant par les divers points de la parabole CBD. — Sections planes parallèles à CBD; leurs aires. Volume du solide ACBDA. Aire d'une section parallèle à CAD.

52. Le centre d'un carré horizontal, de grandeur variable, se meut sur le

diamètre vertical d'un cercle vertical , de manière que le côté du carré soit toujours égal et parallèle à la corde suivant laquelle son plan coupe le cercle. Volume et aire de la surface engendrée par le contour du carré. — Mêmes problèmes, en remplaçant le carré par un polygone régulier de %n côtés, dont l'apothème soit toujours égal à la demi-corde du cercle.

53. Aire du paraboloïde de révolution. — Centre de gravité et moments d'inertie

de cette aire.

54. Densité moyenne d'une sphère composée de couches concentriques homo-

gènes dont la densité varie suivant une loi donnée, par exemple, en raison inverse de la distance au centre.

55. Centre de gravité d'une sphère, en supposant que la densité de chaque section

perpendiculaire à un diamètre donné soit proportionnelle au carré de la distance d'une des extrémités de ce diamètre à la circonférence de cette section.

56. Dans un paraboloïde de révolution, la densité d'une section perpendiculaire

à l'axe est proportionnelle au rayon de cette section. Un segment du paraboloïde, limité par une de ces sections, est en équilibre sur un plan horizontal. Quel angle fait l'axe avec le plan horizontal?

57. Centre de gravité d'un arc de parabole dont la densité est proportionnelle à

la distance à l'axe.

58. Centre de gravité du solide engendré par la révolution d'une courbe

/(«■, y) = o autour de l'axe des .r, la densité étant fonction de jc.

59. Centre de gravité d'un segment de cycloïde compris entre l'arc compté

depuis le sommet et les coordonnées de l'autre extrémité de cet arc par rapport au sommet pris pour origine.

60. Centre de gravité à!xmprisnioïde} ou corps hexaédrique dont les bases sont

deux rectangles ayant leurs côtés respectivement parallèles , les quatre autres faces étant des trapèzes.