II. Soit la spirale hyperbolique r = — ■ On a /' = oo pour

p — ex=z o. Ensuite 7*'= > d'où S;— — a; donc la sous-

P tangente a pour limite — a, ce qui détermine la tangente limite

ou l'asymptote.

536. Il y a des cas où la courbe a une asymptote, sans que pour cela la tangente à l'infini tende vers une limite déterminée. Considérons, par exemple, la courbe qui a pour équation

a étant ^> i et m positif. On a d'abord y — o pour x infini; donc l'axe des x est une as3rmptote. Mais, si Ion cherche la limite de la tangente, on trouve bien que

dv cos.r »? (<? -^ sin .r) dx — x"1 ' xm+i

a toujours pour limite zéro; mais l'ordonnée à l'origine de la tangente

dv (i — ■ m) (a -h sin x) cos.r

aura pour limite

,. cos.r

— hm 1

quantité nulle pour 777 ~> 1 (auquel cas la limite de la tangente est l'asymptote), indéterminée et oscillant entre — 1 et -+- 1 pour 777 = 1 , oscillant entre — ce et -j- 00 pour 777. <^ 1 .

Pour nous rendre compte de cette circonstance, remarquons que,

y — x — dx

dans les environs du point de contact, situé à une distance infini-

cly • y

ment grande de l'origine, — ayant pour limite lim -i et le point

de contact étant infiniment voisin de l'asymptote, la tangente, dans un intervalle fini à partir de ce point de contact, différera infiniment peu de l'asymptote. Mais, si l'on remonte jusqu'à l'axe desj', situé à une distance infiniment grande du point de contact, l'ordonnée de la tangente par rapport à l'asymptote sera le produit d'un coefficient angulaire infiniment petit par une abscisse infiniment grande. Or rien ne prouve donc que ce produit ait pour limite zéro, ni qu'il tende vers une limite déterminée.

§ III

LONGUEUR d'un ARC DE COURBE. ANGLE DE CONTINGENCE.

DÉTERMINATION DU SENS DE LA CONCAVITÉ d'l'NE COURBE.

537. On sait, par la XXe proposition du Ier Livre d'Euclide, que dans un triangle un côté quelconque est moindre que la somme des deux autres, d'où il résulte : i° que la différence de deux côtés d'un triangle est moindre que le troisième côté; 20 qu'un côté quelconque d'un polygone fermé est moindre que la somme de tous les autres.

Si donc un triangle a un seul angle infiniment petit, la différence entre les côtés qui comprennent cet angle est moindre que le troisième côté, et, comme celui-ci est infiniment petit par rapport à chacun des deux autres, il s'ensuit que la différence des côtés qui comprennent l'angle infiniment petit est infiniment petite par rapport à chacun de ces deux côtés; ou, en d'autres termes, que les deux côtés d'un angle infiniment petit d'un triangle, dont les deux autres angles sont finis, diffèrent entre eux infiniment peu.

Si l'un des deux angles finis est droit, cette différence est même infiniment petite du second ordre par rapport à chacun de ces côtés; car, a, b, c étant les côtés d'un triangle rectangle,

,, a 1. « a~ b a a- — ù-=c, clou =

quantité infiniment petite du second ordre, si c est infiniment petit par rapport à a.

3o LIVRE III. — CHAP. I, § III.

On en conclut que, si un triangle a deux de ses angles infiniment petits, la différence entre le plus grand côté et la somme des deux autres est infiniment petite du second ordre par rapport à ce plus grand côté.

Il en est de même pour la différence entre un côté d'un polygone et la somme de tous les autres, lorsque tous ceux-ci forment avec le premier des angles infiniment petits.

538. Soit donné un arc de courbe plane. Nous supposerons cet arc convexe, c'est-à-dire tel qu'un rayon vecteur, mené par un point fixe, parallèlement à chaque position de la tangente, tandis que le point de contact parcourt l'arc d'une extrémité à l'autre, se déplace en tournant toujours dans le même sens, sans jamais revenir en arrière.

Admettons, en outre, pour plus de simplicité, que l'arc soit tel que l'angle des deux positions extrêmes du rayon parallèle à la tangente soit moindre que deux angles droits, de sorte que les tangentes extrêmes et la corde de l'arc forment un triangle contenant l'arc dans son intérieur.

Si ces conditions n'étaient pas remplies, on partagerait l'arc en portions pour lesquelles les deux conditions eussent lieu.

Si à cet arc AB on inscrit et l'on circonscrit deux polygones quelconques, les longueurs des périmètres de ces polygones seront toujours comprises entre celle de la corde AB et la somme AT 4- TB des tangentes extrêmes. Donc ces périmètres auront toujours des longueurs finies, quels que soient les nombres de leurs côtés.

Si l'on subdivise les arcs, en introduisant de nouveaux sommets et de nouveaux points de contact, le périmètre du polygone inscrit augmente, celui du polygone circonscrit diminue, et, de plus, le périmètre du polygone inscrit est toujours moindre que celui du polygone circonscrit.

Soit maintenant AM (fig. 43) un arc infiniment petit. La corde AM fera un angle infiniment petit avec la tangente en un point quelconque de l'arc AM, ainsi qu'avec toute corde sous-tendant une portion quelconque de l'arc AM. Il résulte de là : i° que la corde infiniment petite AM diffère infiniment peu de toute portion de polygone infinitésimal circonscrit à la courbe , comprise entre les ordonnées des extrémités A et M; i° que cette