II. Soit l'équation

/ bx

La différent]' ation donne

xn dy -4- [nx"-'iy — bx" ) dx ■=. o,

que l'on peut mettre sous la forme

x''~1 \xdy -+- [ny — bx j dx~\ — o,

et cette équation est équivalente à la proposée. Si maintenant on supprime le facteur x"~l, et que l'on propose l'équation

(A) xdy -V- ( ny — ■ bx\dx = o,

cette équation, équivalente à

f bx \

admettra non-seulement la solution que l'on obtient en égalant le second facteur à zéro, et qui conduit à l'intégrale générale, mais encore toute solution qui peut satisfaire à l'équation

Cette équation ne donne pas de solution admissible pour // ^ 1 . Pour n<^i, elle donne x — o, solution qui, pour n positif, est comprise dans l'intégrale générale et correspond au cas de C = o ; c'est donc alors une intégrale particulière. Pour n = o, l'intégrale générale, devenant alors y — bx = C, ne peut être vérifiée par aucune valeur de C combinée avec x -— o : cette solution x — o est donc une solution singulière ou étrangère de (A). Or cette solution donne j)'=co, tandis que, d'après l'intégrale générale, on doit avoir y-'=- b. Donc c'est une solution étrangère. Enfin, pour n <^ o, x — o redevient une intégrale particulière, correspondante à une valeur infinie de la constante C.

783. Si l'équation primitive n'est pas résolue par rapport à la