DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE

constante C, et qu'elle se présente sous la forme (.) F(.r,j,C)=:o,

on pourra, entre cette équation et sa différentielle (2) d¥[x,jr,C) = o,

éliminer la constante G, et l'équation résultante

exprimera encore une propriété commune à toutes les courbes représentées par l'équation (i).

L'équation (2) est plus générale que l'équation (1), lorsqu'on la considère isolément, car elle équivaut à

G' étant une nouvelle constante arbitraire. Mais, si l'on combine cette équation (2) avec l'équation (1) elle-même, cela revient à supposer C'— o, et l'on est ainsi ramené à une généralité qui ne dépasse pas celle de l'équation (1).

784. Si la combinaison des équations (1) et (2), qui conduit à l'équation différentielle (3), se fait sans introduction de facteurs étrangers, l'équation résultante (3) pourra remplacer l'une des deux, autres, (2) par exemple. Or l'ensemble des équations (1) et ( 2) donne, pour chaque système de valeurs de x et de y, une certaine valeur de y', ne contenant pas C. Donc (3) exprime la même liaison entre x,y,y' que l'ensemble des équations (1) et (2).

Cela a lieu encore, lors même que l'on aurait introduit ou supprimé, pendant l'élimination de G, des facteurs quelconques, pourvu qu'ils fussent indépendants de y'. Ainsi l'introduction de tels facteurs n'empêche pas l'équation (3) de représenter la relation entre x,y, y' qui résulte de l'équation (1), ce qui est le caractère essentiel d'une équation différentielle.

Mais, si l'élimination de G a introduit un tel facteur //, indépendant de j', de sorte que l'équation (3) soit de la forme

^(.r,jr).?(.r, r, r') = o,

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cette équation pourra être encore vérifiée en posant [j. = o, ce qui répond généralement, comme dans les exemples ci-dessus, à une solution singulière ou à une solution étrangère. Cette solution singulière ou étrangère provient de ce qu'alors (3) n'est plus la conséquence pure et simple de (i), puisqu'on a augmenté sa généralité par l'introduction du facteur étranger p.

785. Si l'on suppose tout facteur étranger supprimé, l'équation (3), établissant une relation non identique entre x,y,y', équivaut à l'équation (t); car celle-ci peut toujours se mettre sous la

forme

vs{x,y) = C.

En la différentiant sous cette forme, on trouve une relation

clrn = O

indépendante de C et équivalente à zs — C [780]. Mais cette relation d Gj = o entre x,y,y' ne peut qu'être identique avec l'équation (3) délivrée de tout facteur étranger, puisque les deux, relations doivent toujours fournir, pour chaque système de valeurs de x et de y, les mêmes valeurs dej^'. Donc l'équation (3) équivaut entièrement à l'équation primitive (i) et représente la même série de courbes.

786. On peut éclaircir ce que nous venons de dire à l'aide d'une représentation géométrique fort simple.

Considérons C comme l'ordonnée variable, perpendiculaire au plan des xy, d'une surface ayant pour équation l'équation donnée (i). Si l'on attribue à C, dans cette équation, une valeur constante, alors l'équation représentera une ligne de niveau [618] de cette surface, ou, ce qui revient au même, la projection de cette ligne de" niveau sur le plan des xy. Ainsi l'ensemble des courbes représentées par l'équation primitive (i), lorsqu'on y donne à C toutes les valeurs possibles, peut être considéré comme le système des projections sur le plan des xy de toutes les lignes de niveau de la surface F[x,y, C) — o.

Pour cbaque système de valeurs de x et de y, on a un certain point de la surface par lequel passe une ligne de niveau déterminée. En menant la tangente à cette ligne de niveau, on a une va-

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leur déterminée de y' pour chaque système de valeurs de x et dey. Si nous construisons, par rapport aux mêmes axes, une nouvelle surface f{x,y,y') = o, dont les ordonnées perpendiculaires en chaque point du plan des xy représentent les valeurs correspondantes dey', on aura ainsi deux surfaces liées entre elles de telle manière que la première détermine complètement la seconde.

Réciproquement, le y' des lignes de niveau est donné pour chacune d'elles par la différen dation de l'équation (i) dans l'hypothèse de G constant, ce qui donne l'équation

(2) d¥--o, ou F1[x,y,j',C)=o.

Si l'on combine (1) et (2) de manière à éliminer C, sans introduire de facteurs étrangers, l'équation différentielle (3) pourra remplacer une des équations (1) et (2). Or, si l'on avait mis l'équation de la surface (1) sous la forme C = vs(x,y), la différentiation aurait donné immédiatement l'équation de la seconde surface, dont ; ' est l'ordonnée, et de cette dernière équation dzô = o, équivalente à (3), on aurait déduit, par l'intégration immédiate, l'équation de la surface primitive (1). Donc les deux surfaces sont telles, que chacune d'elles est complètement déterminée par'l'autre.

787. Cependant l'équation différentielle (3) ne convient pas seiilement, en général, aux projections des courbes de niveau de la surface (1), mais encore à l'enveloppe de ces projections [581]. Imaginons que l'on circonscrive à la surface (î) un cylindre dont les arêtes soient parallèles à l'axe des ordonnées C [646], et dont la base sera le contour apparent de la surface sur le plan des xy. La courbe de contact du cylindre avec la surface a, en chacun de ses points, sa tangente comprise dans le plan tangent commun au cylindre et à la surface, lequel contient en même temps la tangente à la ligne de niveau qui passe par ce point. Il s'ensuit de là que, les deux tangentes ayant même projection sur le plan des xy, la projection de la courbe de contact est tangente en chacun de ses points à la projection de la ligne de niveau correspondante à ce point; en d'autres termes, le contour apparent de la surface est l'enveloppe des projections des lignes de niveau. Donc, en chaque point de cette enveloppe, le y' est le même pour le contour appa-. rent et pour l'enveloppée qui passe en ce point. Donc, la relation

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qui donne le y' de l'enveloppée qui passe au point {x,y) de l'enveloppe doit être vérifiée aussi par le y' de l'enveloppe, c'est-àdire que l'enveloppe satisfait aussi bien que les enveloppées à l'équation différentielle (3).

Généralement, la courbe de contact du cylindre parallèle aux ordonnées n'est pas une courbe de niveau de la surface; donc, en général, le contour apparent ne fait pas partie de la série des projections des lignes de niveau. L'équation de l'enveloppe fournit donc une solution de l'équation différentielle, ne contenant point de constante arbitraire, et ne faisant point partie, en général, de la série des courbes représentées par l'équation intégrale générale (i); mais la valeur de y', tirée de cette solution, satisfait à l'équation différentielle (3), en ayant égard, en général, à l'équation de l'enveloppe elle-même. Une telle solution est une solution singulière de l'équation différentielle. On voit que, bien qu'elle ne rentre pas comme cas particulier dans l'intégrale générale, elle n'en est pas moins indissolublement liée à cette intégrale, dont elle est une conséquence.

788. Cette solution singulière, c'est-à-dire l'équation du cylindre parallèle aux ordonnées et circonscrit à la surface (i), peut être donnée, dans certains cas, par les facteurs étrangers introduits pendant ou après l'élimination de G. Mais ces facteurs, égalés à zéro, peuvent aussi représenter des cylindres ayant pour bases des courbes de niveau : ce sont alors des intégrales particulières, pouvant se déduire de l'intégrale générale en particularisant convenablement la constante C; ou bien ces cylindres ont pour bases des courbes qui ne sont ni des projections de lignes de niveau, ni l'enveloppe de ces projections, et qui n'ont, par conséquent, aucune relation essentielle avec l'équation différentielle, puisque la valeur de y' que l'on tirerait de ces solutions par différentiation ne saurait coïncider avec celle que donne l'équation différentielle, et qui ne convient qu'aux projections des lignes de niveau et à leur enveloppe. Nous appellerons, pour cette raison, ces solutions des solutions étrangères de l'équation différentielle.

Il ne faudrait pas croire cependant que de telles solutions doivent être rejetées a priori ; car, si les conditions d'un problème donnent l'équation différentielle sous la forme y..(S>(x,y,y') — o,

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il peut arriver que ce soit le facteur p. qui, égalé à zéro, fournisse la vraie solution.