III. Soit l'équation générale

des paraboles tangentes aux deux axes coordonnés et ayant pour

axe principal la bissectrice de l'angle de ces axes. On tire de cette

équation, en différentiant,

dx dy

six s/y

si l'on chasse les dénominateurs, cette équation différentielle prend

la forme

.- ,— , — f dx dy\ Jy . dx — dx . dy = o, ou sjocy — ■= = o.

\s/x s,lyJ

Sous cette forme, on voit qu'on y satisfait, non-seulement en annulant le second facteur, ce qui donne l'intégrale générale, mais encore en posant \Jxy = o, ce qui donne le système des axes coordonnés. Or, chacun de ces axes étant tangent à chaque parabole, leur système n'est autre chose que l'enveloppe de la série de paraboles; il représente donc une solution singulière de l'équation différentielle.

790. Nousdémontrerons bientôt d'une manière rigoureusequ'une équation différentielle donnée a priori,

admet toujours une intégrale générale renfermant une constante arbitraire, c'est-à-dire qu'il existe une surface dont les tangentes