CONSTRUCTION D'UNE ÉQUATION DU PREMIER ORDRE

à une même ligne de niveau quelconque satisfont toutes à cette équation.

Si Ton représente l'intégrale générale par une courbe, on peut dire que l'équation de cette courbe sera telle que, en disposant convenablement de la constante arbitraire qu'elle renferme, on pourra faire passer cette courbe par un point du plan désigné à volonté.

On peut donner comme il suit un premier aperçu de la démonstration de ce théorème. A l'aide de l'équation différentielle, mise sous la forme

( i ) dy — ? [x, y) dx,

construisons un polygone infinitésimal passant par un point donné (x0, ya), dont les côtés aient pour projections sur l'axe des x les valeurs successives de dx, savoir

Clt'E Q ■ OC A X/l. CiJC \ OCti) «7*4 5 m m ■ y

et pour coefficients d'inclinaison les valeurs correspondantes de

?(^o>.7o), y(»i,ri), —

La limite de ce polygone sera une courbe passant par le point arbitraire (xo,jo), et telle que les coordonnées de chacun de ses points et le coefficient angulaire de la tangente correspondante satisfont à l'équation différentielle.

On peut encore, ce qui revient au même, construire une série de points ayant pour abscisses successives

Oï 1 *^0 ' " ^^O i OC! Sf — — JC \ 1 Ct<£ 15 •' > * m

et pour ordonnées correspondantes

Jo> Ii — Jo -+- y(fo» J'o)dxQ, y\2=yi + y(.ri,ji) -dxu

En joignant ces points par un trait continu, on a le polygone infinitésimal de tout à l'heure.

791. On conçoit facilement la présence d'une constante arbitraire dans l'équation intégrale générale. En effet, l'équation diffé-

H. — Cours de Cale, infinie, II. 20

3o6 LIVRE IV. — CHAP. I, § II.

rentielle détermine une relation entre dy, x, y, pour une valeur infiniment petite de dx. Dans cette relation unique entre trois quantités, rien ne détermine le valeur de y, qui correspond à un x donné, et à partir de laquelle l'accroissement de y doit se faire. Mais, cette valeur étant une fois choisie à volonté, les accroissements sont dès lors déterminés par l'équation, et par là même est déterminée toute la suite des valeurs dey.