L'équation différentielle

détermine, en fonction de x et de y, non-seulement la dérivée première y', mais encore toutes les dérivées suivantes. Si l'on différentie, en effet, l'équation, ce qui donne y" en fonction de x, y, y', puis qu'on remplace y' par sa valeur tirée de l'équation (i), on aura pour y" une expression de la forme

En traitant de même cette dernière équation, et continuant ensuite de la même manière, on obtiendra successivement j'",j '% • • - , exprimées toutes en fonction de x et de y.

793. Cela posé, l'équation différentielle fournit le moyen de développer l'intégrale générale par le théorème de Taylor, en admettant que la variable reste renfermée dans des limites assez étroites pour que la série soit toujours convergente.

Soit, en effet, y0 la valeur arbitraire de y qui doit correspondre à la valeur x0 de l'abscisse à partir de laquelle on veut faire le développement. L'équation différentielle fera connaître [792] les valeurs

i il m

de toutes les dérivées de y qui correspondent au point (x0, )'<>)• On pourra donc développer en série la valeur dej^', ce qui donnera

expression équivalente à l'équation différentielle donnée. En intc-

INTÉGRATION PAR LES SÉRIES. 3oy

grant cette série entre des limites pour lesquelles la convergence subsiste [357], et observant quej)- =j 0 pour x = x0, il viendra

y = Jo ■+- y (■* — *o) + y^ (* — *o)' + Y7Y3 (* - -ro)3 -+-....

Réciproquement, on déduirait de cette dernière équation, par la différentiation [358], l'équation précédente, qui équivaut à l'équation différentielle proposée.

Exemple. — Soit l'équation

j' = aj>

On en tire, par différentiation et élimination,

j " — a jJ — a2jr, y'" — - «2 j -'= ct3y, . . . ,

d'où, en supposant y =y0 pour x — o, et substituant, dans la formule précédente,

J = To+-rJo+Yi-Jo+7^3Jo + -"=Joe-

Remarquons que l'on n'aurait pas eu plus de généralité en laissant quelconque la valeur initiale x0 de x qu'en la supposant, comme nous l'avons fait, égale à zéro. On aurait eu, en effet, dans ce cas,

a[.r — ,rn) . rt2(.r — ,r0)2

où j'0e~axo représente une constante arbitraire, ni plus ni moins que y0 dans la précédente valeur.

§ III

FORMATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES d'oRDRE SUPÉRIEUR AU PREMIER, PAR L'ÉLIMINATION DE PLUSIEURS CONSTANTES ARBI- TRAIRES.

79 i. Si une équation finie renferme deux paramètres arbitraires elle représentera deux séries de courbes, suivant que l'on considérera l'un ou l'autre de ces paramètres comme seul variable; et

3o8 LIVRE IV. — Cil A P. I, § III.

l'on pourra former deux équations différentielles du premier ordre, exprimant chacune une propriété commune à toutes les courbes de l'une ou de l'autre de ces séries, suivant qu'on éliminera l'un ou l'autre de ces paramètres entre l'équation donnée et sa différen tielle immédiate.

Exemples. — I. De l'équation

j2 = Cz2-f-C

on tire, en différentiant (ce qui élimine C), l'équation différentielle

yy' = G .r,

qui exprime une propriété de la sous-normale relative à l'axe des x de la série de courbes dans laquelle G' est variable et C constant. En éliminant C entre les deux équations précédentes, on a cette autre équation différentielle

xtf = J ■>

qui exprime [789, II] une propriété de la sous-tangente relative à l'axe desj^ de la série de courbes dans laquelle C est variable et C constant.