En joignant, à l'équation donnée

et à sa différentielle première

dY = o, sa différentielle seconde

rf2F = o,

on pourra entre ces trois équations éliminer les deux paramètres C, C, et l'on obtiendra ainsi une équation différentielle du second ordre

exprimant une propriété commune à toutes les courbes de la double série représentée par l'équation F = o.

Si l'on désigne par p le rayon de courbure,

on pourra exprimer j" en fonction dey* et de p, et, en substituant cette expression

dans l'équation f(x, y, y', y") = o, cette équation différentielle du second ordre deviendra une relation entre les coordonnées x, y de chaque point de la courbe, le coefficient d'inclinaison j/ de la tangente et le rayon de courbure p en ce point.

Cette relation géométrique est évidemment indépendante de la manière dont on a opéré, pour l'obtenir, l'élimination des constantes C, C. Donc on parviendra toujours à la même équation différentielle du second ordre, de quelque manière que l'on s'y prenne pour éliminer les deux constantes arbitraires, soit en

3lO LIVRIS IV. — CHAP. I, § III.

combinant direclcmcnllcs Lrois équations F == o, <7F — o, d2F ~ o, soit en éliminant d'abord G cnlrc F = o'et dF = o, puis en éliminant O entre l'équation obtenue et sa différentielle, etc.

790. En raisonnant comme nous l'avons fait pour les équations différentielles du premier ordre, on verra que (sauf l'introduction des facteurs étrangers) l'équation différentielle du second ordre est équivalente à l'une ou à l'autre des deux équations du premier ordre d'où elle peut se déduire, et que l'on appelle les intégrales premières de l'équation du second ordre.

Or, chacune de ces intégrales premières estelle-mcme équivalente à l'équation primitive. Donc l'équation différentielle du second ordre est équivalente à une équation finie, renfermant deux constantes arbitraires, et qui est dite Y intégrale générale de l'équation du second ordre.

797. En combinant entre elles les deux intégrales premières, mises sous la forme

on en tirera une nouvelle équation différentielle du premier ordre

f[fuA) = ?[C,C) = C"

(m désignant une fonction arbitraire), qui sera une nouvelle forme d'intégrale première de l'équation du second ordre. Cette équation exprimera une propriété commune à toutes celles des courbes de la double série dans lesquelles les paramètres C et C sont liés entre eux par la relation cp (G, C) = C". Celte nouvelle intégrale, pouvant remplacer une des anciennes, sera, comme chacune de cellesci, équivalente à l'équation primitive. On peut le rendre évident, en remarquant que l'on peut introduire C" au lieu de G, par exemple, dans l'équation F = o, et que l'élimination de C entre celle-ci et sa différentielle ne peut conduire qu'à une équation équivalente à ^(/ij/à) = C".