LONGUEUR D UN ARC DE COURBE

corde diffère infiniment peu de toute ligne polygonale inscrite dans l'arc AM.

Il s'ensuit de là que la somme des cordes infiniment petites, ou le périmètre d'un polygone inscrit, dont tous les côtés sont infiniment petits, diffère infiniment peu du périmètre d'un polygone

Fis- 43.

infinitésimal circonscrit au même arc fini AB. Si donc on multiplie indéfiniment le nombre des côtés des deux polygones, les deux périmètres, l'un croissant, l'autre décroissant, et différant l'un de l'autre infiniment peu, tendront vers une limite commune, plus grande que chacun des polygones inscrits, plus petite que chacun des polygones circonscrits.

On verrait, d'ailleurs, par un raisonnement tout pareil à celui du n° 237, que cette limite est indépendante du mode de subdivision de l'arc en parties infiniment petites par les sommets du polygone inscrit ou les points de contact du polygone circonscrit.

Cette limite commune des périmètres des polygones inscrits et circonscrits à un arc de courbe est ce qu'on nomme la longueur de l'arc de courbe.

Cette limite jouit de toutes les propriétés des polygones inscrits et circonscrits, indépendantes du nombre des côtés.

539. Si l'on considère un arc infiniment petit, compris entre les points [x, y) et (x + dx, y H- dy), sa corde ds ~ \Jdx- 4- dy2 différera infiniment peu d'un polygone quelconque, inscrit ou circonscrit à cet arc. Elle différera donc aussi infiniment peu de la longueur de l'arc; donc on peut, aux infiniment petits près d'ordre supérieur au premier, prendre la corde ds pour la longueur même de l'arc infiniment petit, et la longueur d'un arc fini sera égale à la limite de la somme de ces éléments infiniment petits ds.

Ainsi la longueur d'un arc de courbe dont les extrémités ont

pour abscisses x0 et X sera exprimée par l'intégrale

ds= ! \lclx1 4- <^2 = / dx \j

X=. X„ 1/ xn %) xn

Remarquons, de plus, que la différence entre la corde et un quelconque des polygones inscrits ou circonscrits à l'arc infinitésimal, est infiniment petite du second ordre par rapport à la corde; elle est donc, absolument parlant, du troisième ordre. Donc un arc infiniment petit diffère de sa corde d'un infiniment petit du troisième ordre.

540. Le calcul de l'intégrale qui exprime la longueur d'un arc de courbe constitue le problème de la rectification de cette courbe. Donnons-ën quelques exemples.

ï. Soit la parabole cubique

On a

d'où

lydy = 3x-dx,

ds* = dx* -h ^ dx* = ( 14- S -T. ! .■/.:

,? =3 i dx i / ï H- V -^ = — 1+7J; -i- C,

la constante arbitraire dépendant de l'origine à partir de laquelle on mesure l'arc.