DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU SECOND ORDRE. 3 1 I

il vient yyn '-f- j/2 = G, d'où, en éliminant C, on tire l'équation du second ordre

Xyy» H ,rj'2 jj' = 0j

qui convient à toutes les coniques dont les axes principaux sont dirigés suivant les axes coordonnés. Si l'on introduit, à la place de y", le rayon de courbure p, l'équation devient

xy ( ' ■+- /* ) 2 + *f [xjr' — y) == o.

Or on a MN = la normale N == MP séc WYx ou =y\fi -+- /- ;

Fig. 85.

onconstruitensuite, par des perpendiculaires, MQ = MPséc2MT.r, puis MR = MP séc3 MTx =y(i -+-f2f. D'ailleurs,

OT = MP — MS —y — xy .

Donc l'équation différentielle devient, à cause de OD = OT.j)/,

OP . MR = o . OD,

d'où l'on déduit p par la construction d'une quatrième proportionnelle.

En mettant les deux intégrales premières sous la forme

C, y9--xyy'=C,

3 1 a LIVRE IV. — CHAP. I, § III.

on en tirera, par exemple, une troisième intégrale première

Y y — xy == C - » .

C" étant égal à — •