CONSTRUCTION D'UNE ÉQUATION DU SECOND ORDRE

L'équation différentielle

déterminera la variation infiniment petite y"0dxG = dy0 du coefficient angulaire de la tangente, lorsqu'on passe du point (x0,y0 ) au point infiniment voisin (x) , j( ) pris sur la première tangente. On construira de même une troisième tangente en un troisième sommet infiniment voisin (x2, y 2) pris sur la seconde tangente, cette troisième tangente ayant pour coefficientangulairei^H-j",^) ; et ainsi de suite. On obtiendra ainsi un polygone infinitésimal, dont la limite sera une courbe qui représentera par son équation l'intégrale générale de l'équation différentielle donnée.

On peut encore prendre l'équation différentielle sous la forme

Au point M0[x0, }'o) on mène une normale arbitraire, sur laquelle on porte la longueur p0 déterminée par l'équation p0 =x{xo,J'o,j\])- On obtient ainsi le centre de courbure N0 du point M0. De ce centre N0 on tracera un arc de cercle infiniment petit M0M|. Sur la normale M|N0 on portera la longueur p, =^(a?|,j(, y\), ce qui donnera un second centre de courbure Nl5 d'où l'on décrira un nouvel arc de cercle infiniment petit M|M2; et ainsi de suite. On aura ainsi un polygone curviligne, dont les côtés seront des arcs de cercle infiniment petits, et qui aura pour limite une courbe représentant l'intégrale générale de l'équation différentielle du second ordre.

800. On peut aussi se servir du théorème de Taylor pour développer en série la valeur de y. On fera voir d'abord, comme on l'a fait pour le cas d'une équation du premier ordre, que l'équation différentielle du second ordre détermine, en fonction des quantités x,y,y', la dérivée seconde y" et toutes les dérivées suivantes j'", j'\ — En désignant donc par 7 0, 7 '() les valeurs arbitraires de J, y' qui correspondent à la valeur initiale x = x0- on connaîtra en fonction de ces quantités arbitraires tous les coefficients du développement de

r" rIV

f = JV -h — [x — x0) + H- [x — .roy- -4- . . ■ , 1 1.2

3l4 LIVRE IV. — CHAP. I, § III.

et cette équation donne, en intégrant deux fois entre les limites

OC Q Ct OC y

expression de y au moyen de x et des quantités arbitrairesj'0> 70' Exemple. — Soit l'équation

On en tire successivement

f a. «v' = o , jiv -4- «y = jiv - «4 j == o ,

f — cày' = o , JVI — ai//=rVI + «6j = o ,

Donc, en supposant x0 — o,

x , rt2.r2 <v2,r3 , «'\r4

rt-.r2 <74.ri \ y'(.(ax azxA

= r0 cosax -\~ — - sin«.r.

L'intégrale générale peut donc se mettre sous la forme y — G cos«.r 4- G' sinrt.r.

Si, au lieu de supposer x0= o, on avait laissé x0 quelconque, l'expression que l'on aurait obtenue,

J = Jo cos a (x — .r0 ) -+- --n- sia « ( ,r — x0 )

/ • \ / Yo \

r0cosax0 — — sin«.r0 ) cosax ~\- y0 sinax0-+- ' — cosrt.-r0 ) sin^-r, a IX a )

aurait encore pu se ramener à la forme Ccosax -h C sinax, et, par conséquent, n'aurait pas eu plus de généralité qu'en prenant

DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU TROISIÈME ORDRE. 3l5

80 J . Si l'équation primitive F — o contient trois paramètres arbitraires, on parviendra, par leur élimination entre l'équation et ses trois premières différentielles, à avoir une équation différentielle du troisième ordre, que l'on pourra interpréter géométriquement comme étant une relation entre x, j, y' , le rayon

de courbure p de la courbe, et le rayon de courbure p\= —^ de

la développée [580].

Une équation du troisième ordre est indépendante de l'ordre dans lequel s'effectue l'élimination des trois paramètres.

Elle est équivalente à chacune de ses trois intégrales premières, ou équations du second ordre, renfermant chacune une constante arbitraire, et de la forme

à chacune de ses trois intégrales secondes, ou équations du premier ordre, renfermant chacune deux constantes arbitraires, et de la forme

et enfin à son intégrale générale, qui est l'équation primitive avec trois constantes arbitraires,

On verrait, comme dans le cas précédent, que l'équation différentielle du troisième ordre peut servir à construire approximativement la courbe, soit par un polygone rectiligne infinitésimal, soit par un polygone curviligne obtenu en construisant approximativement la développée et le lieu de ses centres de courbure. On pourrait aussi tirer de l'équation différentielle le développement de l'ordonnée de la courbe suivant la série de Taylor.

802. En général, si une équation renferme n paramètres arbitraires, on pourra les éliminer entre l'équation et ses n premières différentielles, et former ainsi une équation différentielle du ^ieme or(jre# Au lieu d'éliminer toutes les constantes à la fois, on pourra, par des combinaisons différentes des n -+- i équations

3l6 LIVRE IV. — CHAP. I, § IV.

F — o, dF - r= o, . . . , dn¥ = o, éliminer

i constante de n manières différentes,

i » de » »

, n [n — i ) [n — ?, de-^ 4 ■

n — i » de n •< ■>

n » de i seule manière.

ce qui donne, entre autres, n équations différentielles de Tordre n — i, contenant chacune une constante arbitraire, et qui sont les intégrales premières de l'équation différentielle du nxeme ordre.

Si l'on connaissait les n intégrales premières, on obtiendrait l'intégrale générale en éliminant entre ces n équations les n — i dérivées y', y", • • . ,j("~".

On pourra considérer l'équation différentielle d'ordre n comme une relation entre x,j,j' et les rayons de courbure de la courbe, de sa développée, de la développée de sa développée, ou développée du second ordre, de la développée du troisième ordre, et ainsi de suite, jusqu'à la développée du [n — 2)^me ordre.

L'équation différentielle de l'ordre n a (sauf les solutions singulières et les solutions étrangères) la même généralité que l'équation primitive à n constantes arbitraires d'où elle est tirée, et peut remplacer cette équation primitive.

Elle peut servir soit à construire approximativement l'intégrale générale, soit à former son développement par la série de Tavlor.

§ iv.

TOUTE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE d'oRDRE QUELCONQUE ENTRE DEUX VARIARLES A UNE INTÉGRALE GÉNÉRALE.

803. Nous allons démontrer que toute équation différentielle entre deux variables a une intégrale générale, c'est-à-dire que l'on peut construire à l'aide de cette équation un polygone infinitésimal, ayant pour limite déterminée une courbe satisfaisant à n con-

TOUTE EQUATION DIFFERENTIELLE A UINE INTÉGRALE. 3lJ

ditions choisies arbitrairement,, n étant l'ordre de l'équation différentielle.

Commençons par traiter le cas d'une équation différentielle du premier ordre, que nous supposerons mise sous la forme

et supposons la fonction f{oc,y) continue par rapport à x et à r dans le voisinage des valeurs de ces variables que nous aurons à considérer.

Par un point arbitraire (.r0,j"o) du plan, menons une droite ayant pour coefficient angulaire la quantité

/o= :/(-ro, Jo)-

Donnons à x un accroissement dxo = xt — x0, auquel correspondra l'accroissement de y

J'i — Jo~/(^ojJo) [xi — *<>)•

A partir du point (.r^jv^) menons uue droite ayant pour coeffî-

j'i=/(^i,Ji),

cient angulaire

et donnons à x un nouvel accroissement dxt = x* — xly auquel correspondra l'accroissement de y

Et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on soit arrivé à une certaine abscisse finale x/2 = X, le dernier accroissement dey étant

Y —Jn-i =f[x,i-l> Xn-i) (X — .r„i).

On aura ainsi construit un polygone, dont l'ordonnée finale Y sera égale à l'ordonnée initiale j r0, plus la somme des accroissements successifs, c'est-à-dire que l'on aura

Y — Jo=/(^o3Jo)(^i — *o) +/(^i>Ji)(-r2— *i) +• • •

804. Puisque Ton suppose f(xo)Jo) &nh Ie rapport de l'accrois-

3l8 LIVRE IV. — CIIAP. I, § IV.

sèment j , — j 0 à l'accroissement, .r, — x0 aura une valeur finie k0. L'accroissement suivant^ — yA aura encore un rapport fini avec x-2 — :J|, si la fonction y^Xjjr) est finie pour les valeurs x -~xs, y=yt, différant de quantités non infinies xt — x0,I0{xi — x()) des valeurs x0,jr0, de sorte qu'on aura

y-i — ji = ^'i(-r2 — x\)>

À", étant une quantité finie; et ainsi de suite. Si nous supposons que l'intervalle X — x0 soit pris de telle manière qu'aucune des quantités k0, kt , ••• ne soit infinie, l'accroissement Y — y0 sera égal à la somme X — x0 des accroissements de x, multipliée par une moyenne k entre les quantités k0, kt, . .., c'est-à-dire par une quantité finie. Donc Y — y0 sera, dans ces conditions, une quantité finie, quel que soit le nombre des divisions de l'intervalle X — x0. La condition que nous supposons remplie consiste en ce qu'aucun des côtés du polygone ne devienne parallèle à l'axe desy, ou, plus exactement, en ce qu'une droite tournant autour d'un point fixe, de manière à devenir successivement parallèle aux divers côtés du polygone, ne passe jamais, dans son mouvement continu, par une position parallèle à l'axe des y. On pourra toujours partager l'intervalle X — x0 en intervalles partiels, pour chacun desquels cette supposition soit réalisée. Ainsi f(x,y) est supposée finie pour toutes les valeurs de x et de y qui répondent aux sommets du polygone, et, de plus, continue dans le voisinage de ces valeurs.

895. Pour apprécier l'influence d'une subdivision ultérieure des intervalles sur la valeur de la somme (2), considérons un élément unique

(3) /(^o.Jo) (X — *„)»

et comparons-le à la somme (2), résultant de la division de l'intervalle en n parties. La quantité (3) pouvant s'écrire sous la forme

/(*o»Jo) (*i^*o) +/(*o,7o) (^2— *i) +. • . + /(-*Wo) (X— #„!), on voit que la différence des deux quantités (2) et (3) a pour

TOUTE EQUATION DIFFÉRENTIELLE A UNE INTÉGRALE. 3ig

valeur

[/(•ri. Ji)— /(-ro,Jo)] (a?a — 4?j)

+ L/(af«r») — /(^o^ojJi^'s — *«) +• ••

= L/(*i,ri) -/(-Wo)] [(X- *») - (X - *,)]

H- [/(*!, J2) -/(^o,Jo)] [(X - .r2) - (X - *,)] + . . . = [/(*i, Ji ) -/(^oJo)] (X - ar, )

+ [/(^2,jr2 ) — /(*„ ji)] (X — j-,} h- . . . ,

expression que l'on peut obtenir directement, en remarquant que l'accroissement total de Y, résultant de la division de l'intervalle, est égal à la somme des segments interceptés sur la dernière ordonnée entre les prolongements de deux côtés consécutifs du polygone, segments égaux aux intervalles X — x)?X — x2, •••, multipliés respectivement par les accroissements correspondants de

Or, si nous supposons les deux dérivées partielles

àf(^r) àf[x,y)

finies, comme la fonction f{x,r) elle-même, pour les valeurs de x et dey considérées, on aura [339]

/(*i.7i) — /(*o,7o) =/i(5ii) (•*, — x0) -4-/,(Ç,u) (ji — Jo) = [/1(Ç,n) + *o/i(Ç,^)](*i-*o}.

£ et -/j désignant des valeurs moyennes de la forme

ç = x0+e[xl — .r0), i3 = r0 + e(j)- — j0),

0 étant positif et <^ i , et /r0 ayant une valeur finie, égale kj'(x0,jr0). Donc, si l'on représente par u0 une quantité finie, quel que soit l'intervalle xK — x0, fini ou infiniment petit, on aura

/(*i,Ji) — /{■*<>■> J'o) ="o(-?'i— ■*"<>)•

On trouvera de même

/(*»i J'2) — /(*ii Ji) =«1(^2—^1),

/(*nri) — /(■»«. 7») = ««te»- -r*)'

et ainsi de suite, ït, , z^2, ... étant des quantités toujours finies.

Donc la somme (4), ou l'accroissement de Y résultant de la division de l'intervalle X — x0, sera de la forme

u0 ( X — xl ) ( xï — x0 ) -f- «i ( X — ,r2 ) ( x2 — x1 ] -{- . .

Cette quantité est égale à la moyenne des quantités u0,uf, ..., qui est une quantité finie u, multipliée par la somme des seconds facteurs

(X— xj) [xl — xii) -f- (X — x2)(.t2— xj-h. .-t-(X — xn i )(xn l — xn%).

Si l'on suppose maintenant les intervalles partiels infiniment petits, cette somme convergera vers l'intégrale

tJ X,

(X • — x) dx = - (X — ^o)2-

Donc, lorsqu'on remplace un intervalle unique X — x0 par une infinité de divisions infiniment petites, la limite du changement qui en résulte pour l'ordonnée extrême Y est de la forme

u étant une quantité finie.

On voit d'abord que cet accroissement de Y est toujours fini lorsque l'intervalle X — x0 est fini. Lorsque cet intervalle est infiniment petit, l'accroissement (5) est infiniment petit du second ordre.

806. Revenons maintenant à la somme (2), et supposons qu'on y subdivise à l'infini chacun des intervalles partiels j( — x0,

JC 2 OC \ ■ • « • •

L'ordonnée j^ subira, par l'effet de la subdivision de l'intervalle X| — x0, un accroissement §j ! de la forme

u0 étant fini. Il en résultera pourj'j =tf(xi,ji) un accroissement

*/i=ft[xuXi-t- e^ri)^i=po(*i-^^o)2> ^0 étant une quantité finie.