TOUTE ÉQUATION DIFFERENTIELLE A UNE INTÉGRALE

L'accroissement de y^=.yK-\-y\{x% — x{) se composera dé l'accroissement de jru plus l'accroissement àej'^Xo — x{), plus une quantité de la forme u{ (x2 — x{)2, ut étant une quantité finie, fonction de JCf, ji -h By{, .... Donc on aura

ty2= u0(.r1 — .roy--{- u^Xt— •*!)*+ «'o(.*i— .^o)2 (^2— *i) ,

ou, en remarquant que uQ-+- v0(x2 — x{) est une quantité finie que l'on peut encore représenter par u0,

En continuant le même raisonnement, on verra que Y, par l'effet de la subdivision, croîtra d'une quantité que l'on pourra mettre sous la forme

<nr = «„(#! — .»o)8 + Mi (#a — ^i)2h-. . .-+- «»i(x — ^„-i)2,

u0, iii, . . ., un__t étant des quantités finies. On peut mettre cette expression sous la forme du produit de X — x0 par une moyenne entre les quantités infiniment petites

u0[x1 x0j , u^yx%- ■x1j, . . . , «w j[X .rw j),

laquelle moyenne ne peut qu'être elle-même infiniment petite. On voit donc que l'accroissement dY est infiniment petit, si tous les intervalles xt — x0, . . . , X — xn\ sont infiniment petits.

Donc on peut toujours diviser l'intervalle X — x0 en parties assez petites pour que Y ne puisse plus varier qu'infiniment peu par l'effet d'une subdivision ultérieure quelconque. Donc, Y tend vers une limite finie et déterminée.

On prouverait, comme nous l'avons fait [237], que la limite de Y est indépendante du mode de subdivision.

Ainsi, l'ordonnée Y, construite au moyen de l'équation différentielle, et dont la dérivée

lira =-2=1 =lim/(*»-i,1r,»-i) =/(X, Y)

A- — xn— 1

satisfait à cette équation, est une fonction déterminée de l'abscisse finale X et de la valeur arbitraire y0 , que l'on a choisie pour l'ordonnée initiale.

H. — Cours de Cale, infinit., II. 21

807. Remarquons que, la construction ci-dessus pouvant être continuée de part et d'autre de l'abscisse x0, cette abscisse initiale peut être considérée comme l'abscisse d'un point quelconque de la courbe. Si l'on fait varier y0 d'une manière continue, chacun des éléments de la somme (2) variera infiniment peu par rapport à lui-même pour un accroissement infiniment petit dey0; la somme elle-même variera donc infiniment peu, et, par suite, Y est une fonction continue dej'o-

Donc, en faisant varier y0, on fera varier d'une manière continue les ordonnées de tous les points de la courbe. On peut ainsi faire varier, en général, y0 de manière à faire prendre à une ordonnée quelconque^ une valeur assignée d'avance. Donc on peut dire, en généralisant ce qui concerne l'ordonnée considérée d'abord comme ordonnée initiale, que la courbe déterminée par l'équation différentielle peut satisfaire à la condition de passer par un point quelconque désigné sur le plan, c'est-à-dire que la condition nécessaire et suffisante qu'il faut joindre à l'équation différentielle pour que la courbe soit complètement déterminée équivaut à faire passer la courbe par un point arbitraire du plan ou à faire prendre à y, pour une valeur donnée de x, une valeur arbitraire.

Cette condition peut être remplie par toute équation renfermant une constante arbitraire, et donnant pourjy etyf des valeurs satisfaisant à l'équation différentielle, quelle que soit cette constante. Or, si l'on choisit la constante de manière à satisfaire à la condition initiale, la courbe se trouve alors complètement déterminée par la seule condition de satisfaire à l'équation différentielle. Donc toutes les courbes qui satisfont à l'équation différentielle forment une série unique de courbes qui ne diffèrent entre elles que par la valeur d'un paramètre arbitraire.

808. Il peut sembler cependant, au premier abord, que la valeur de Y, que nous avons déterminée ci-dessus, dépende des trois quantités x0,j)'o,X, de sorte que l'équation de la courbe se présente avec deux constantes arbitraires, sous la forme

Mais il faut remarquer que cette équation n'est pas de forme quel-

TOUTE EQUATION D I FFERENTIELLE A UNE INTÉGRALE. 323

conque, et que sa forme particulière doit permettre de réduire à l'unité le nombre des arbitraires. En effet, si l'on fait tendre X vers x0, Y devra tendre vers j'0> de sorte qu'on aura, à la limite,

y(*o>.ro»*o».ro) =°ï

et, comme x0 etj0 sont deux quantités arbitraires et indépendantes l'une de l'autre, cette équation ne peut être qu'une identité. Donc la relation entre les coordonnées de deux points, qui représente l'intégrale générale de l'équation différentielle, doit se transformer en identité lorsque les deux systèmes de valeurs des variables viennent à coïncider.

De plus, puisqu'on peut prendre pour point initial un point quelconque de la courbe, si l'on désigne par y l'ordonnée qui correspond à l'abscisse x dans la courbe qui passe au point (X, Y), on pourra prendre x pour abscisse initiale au lieu de x0, et l'équation de la courbe pourra se mettre sous la forme

Si l'on fait maintenant coïncider (X, Y) avec (x0,yo), on voit que l'on aura, pour une abscisse quelconque x,

Donc la courbe peut être indifféremment représentée par lune ou l'autre des deux équations

c'est-à-dire que la relation entre les deux systèmes de valeurs des coordonnées du point initial et du point final ne change pas lorsqu'on échange entre eux ces deux systèmes.

On voit que, dans cette relation, la valeur de x0 est indifférente, et que l'on obtient telle ou telle courbe du système en faisant correspondre à n'importe quelle valeur de x0 une valeur de j-0 convenablement choisie. Ainsi, l'équation n'a pas plus de généralité qu'une relation contenant une seule constante arbitraire.

809. Passons maintenant au cas d'une équation différentielle d'un ordre quelconque m, que nous supposerons mise sous la

forme

Nous allons montrer d'abord que cette équation détermine pour y{m-\) une valeur fonction de x et des m constantes yo, y0, ■ • >, y[™~v, qui représentent les valeurs de y, y', •••0'("'~') pour

Pour un point (x0,yo) du plan, l'équation (i) détermine yl™] en fonction de x0, y0,y'o, . . ., y(™ ~1]. Menons, par le point qui a pour coordonnées (x0, J rl™~u)} une droite dont le coefficient angulaire soit cette valeur de y™. Si nous faisons croître x0 de dxa, y{™~h) croîtra de dy^~l] =yl™) dx0, et prendra une nouvelle valeur J(/" ''- Donnons aux quantités y{™~2) , yl™~3) , . • • , yo les accroissements

J\ Jo == J'o "^0 5

et avec les nouvelles valeurs de ces quantités déterminons la nouvelle valeur de y^m\

En passant de même du second système de valeurs à un troisième, et ainsi de suite, on construira un polygone dont les ordonnées des sommets seront les diverses valeurs de y^m~^, depuis l'abscisse initiale x0 jusqu'à l'abscisse finale X. L'accroissement de j<m~l) dans cet intervalle sera

Y<i»-i) y»-n =/0 . dx0 +f, . dœ, + . . . +/„! . dxn, ,

en désignant, pour abréger, par/} l'expression/"^/, j^-, y\ ,... ,yl/n~1)) ■ Si l'on suppose l'intervalle X — x0 choisi de manière que la fonction^ ne passe pas par l'infini dans cet intervalle, c'est-à-dire de manière que la droite qui suit la direction des côtés du polygone ne passe pas par une position parallèle à l'axe des j-, on verra que l'accroissement Y'7"-1) — y(™~{) ', étant égal à l'intervalle total X — x0 multiplié par une moyenne entre les valeurs dey, sera une quantité finie, quel que soit le nombre des divisions de l'intervalle. En second lieu, si l'on remplace un seul intervalle X — x0 par ii intervalles partiels

X\ Xn, X.2 X* , .... ii. .F»— t «

TOUTE EQUATION DIFFERENTIELLE A UNE INTÉGRALE. 3^3

l'accroissement Y(7"-l) — y{™~n = (X — x0)fo variera d'une quantité que l'on peut, d'après ce que nous avons vu plus haut, mettre sous la forme

On a, d'ailleurs, en supposant les dérivées partielles de y finies dans l'intervalle X — x0, comme la fonction elle-même,

/,-/o=/'(?)(^-^)+/'(^(Jl-Jo)^-..•-^/'(^'"-^)(y^-l,-Jr-l,);

et, comme tous les accroissements j{ — j{), ...,j\m~j) — j^-" sont les produits de x, — a^0 par des quantités finies, fs — f0 prendra la forme

«o étant une quantité finie. Et de même pour les autres. On en conclut, comme on l'a fait pour les équations du premier ordre, que la variation que subit l'accroissement Y^-1- — y{™~{) est une quantité dont la valeur limite est de la forme

u étant une quantité finie.

Il résulte enfin de là que, si l'on part d'une subdivision de l'intervalle total en éléments infiniment petits, l'accroissement Y(ra-0 — j'o"-" ne subira plus que des variations infiniment petites. Donc cet accroissement tend vers une limite déterminée, indépendante, comme on peut le démontrer, du mode de subdivision de l'intervalle X — x0 en parties infiniment petites.

810. Il s'ensuit de là que Y("i-I) est une fonction déterminée de X et des quantités arbitraires x0,y0> j'ot • • • O o" "> avant pour dérivée

lim— - Z-l =limjk 1=/(X,Y,...),

et par suite satisfaisant à l'équation différentielle. Ainsi, de l'équation différentielle (i) on déduit une équation de la forme

yVn-» = ?[x,x„y„y\ rlT11),

3aG LIVRE IV. — CHAP. I, § IV.

y(m-\) ayant pour dérivée

oùy,y', . . . sont les limites des valeurs obtenues comme on vient de le voir, limites que l'on démontrerait être finies et déterminées, comme on l'a fait pourj}^™-1).

En intégrant m — i fois de suite cette expression dey('"~,'>, et déterminant chaque fois la constante d'après la condition que, pour .r = ,r0, on ait y =y0, y' = y'0, . . . , j("i" — jy(0'"~n, on parviendra à une relation entre x,y et les m constantes arbitraires y<s,y\i • • • 7,/oW-i,j laquelle sera V intégrale générale de l'équation différentielle proposée.

Remarquons que, d'après la loi de formation des fonctions jtm-\) ^y(m—2)^ ^ yi ^ chacune d'elles est la dérivée de la suivante, et c'est pour cela qu'elles se reproduisent dans les intégrations successives.

Si l'on donne maintenant une équation

F(*,r,Ci,C„ ...,Cm)=o,

renfermant m constantes arbitraires distinctes, c'est-à-dire telles qu'on puisse les déterminer de manière que, pour x = x0, y et ses in — i premières dérivées prennent des valeurs choisies arbitrairement, et que la valeur de y tirée de cette équation satisfasse à l'équation différentielle (i), quelles que soient ces m constantes, cette équation ne pourra que coïncider avec l'intégrale générale dont nous venons d'établir l'existence.