DIFFÉRENTIELLES

811. I. Intégration immédiate. — Supposons d'abord que l'équation différentielle donnée soit du premier degré par rapport

dr à — » et, par suite, qu'elle puisse se mettre sous la forme

Md.t: -h ~Ndy=. o,

M et N étant des fonctions données de x et de y. Si le premier membre de cette équation est la différentielle exacte d'une fonction des variables x et y, considérées comme indépendantes, cette fonction, dont la différentielle doit être nulle en vertu de l'équation, ne pourra que conserver une valeur constante. On aura donc

la relation

JCMdx-\-~Ndr) = C,

qui contient une constante arbitraire et qui sera l'intégrale générale de l'équation proposée.

Exemples. — i° L'équation

( 2 X.V -\- Pf -+- 3 ) dx + ( $x + 2 y y -f- î ) dj — 0

3a8 LIVRE IV. — CHAP. II, § I.

a pour intégrale générale

a.x- -+- $xy -h 7 j 2 + â x -+• zy == C.

i° L'équation

dx dy

y/xs-hyi y \ \J^+y2J donne, en représentant la constante arbitraire par logC,

Arg Sh '- logj = log [x + y'x- -+- j2J = logC,

d'où

812. IL Séparation des variables. — L'intégration immédiate peut s'effectuer dans le cas où les variables sont séparées, c'eslà-dire où l'équation est de la forme

Xdx -+- Ydj ■ = o,

X étant une fonction de x, Y une fonction de y. L'intégrale générale de l'équation est alors

/Xdx -+- fYdj =o.

Exemples. — i° Soit l'équation

dx dy x y

on en tire, en représentant par logC la, constante arbitraire, \ogx — log j = logC, d'où x =: Cy.

2° Soit l'équation

dx dy

7+ÔT2 + T+T2 =0;

on en tire, en représentant par arc tangC la constante arbitraire,

x -+- v arc tanga' -H arc tangj = arc tang — = arc tangC,

d'où

i — xy

813. On peut ramener au cas précédent toute équation de l'une

des formes

Xdx -hXefy=zo,

XlTdx-f-XYldy = of

X, X| étant des fonctions de x, et Y, Y , des fonctions de y. Il suffira, pour cela, de diviser chacune de ces équations par le produit XY, en tenant d'ailleurs compte comme il convient [781] du facteur ainsi supprimé.

Exemples. — i° L'équation

y dx — x d) = o devient, en divisant par xy,

dx dy

d'où [812]

x — Cy = o.

L'équation différentielle donnée équivaut à

xy.dlog- =o.

La solution supprimée xj = o correspond aux deux intégrales particulières x = o, y = o, que l'on obtiendrait en faisant tour à tour C = o, C — oc .

■2° L'équation

\jy dx — y x d) ■ ■=: o

donne, en divisant par \Jxy,

dx dy

\Jx Jy

d'où l'intégrale générale

\/x — \Jj = C.

Le facteur supprimé \jxy, égalé à zéro, donnerait une solution singulière [789, HT].

Nous allons examiner maintenant deux cas généraux, dans les-

quels, par une transformation convenable, on peut rendre les variables séparables.