III. Equations homogènes . — Soit une équation de la

forme

Mdx -f- mdr = o,

M et N étant deux fonctions homogènes de même degré en x et y. L'équation proposée pourra [322] se mettre sous la forme

ou, en divisant par xm, et posant - = t, d'où dj = tdx -f- xdt,

y[t)dx -\- y^(t) [tdx -h xdt) = o,

ou

[<?[t) + t%(t)]dx -\-x%[t) dt=. o,

équation où les variables sont séparables d'après le numéro précédent. On en tire ainsi

dx y.(t)dt

d'où, en posant, pour abréger,

rr Xi*)

f[t)-htx{t)

et intégrant,

logx -\-fTdt = logC, ou x = Ce~STrl.

Après l'intégration, il ne restera plus qu'à remplacer t par sa

valeur - ; ou encore on conservera la variable auxiliaire t, enjoignant à l'équation précédente l'équation

jr = Cte-^dt.

815. On peut arriver au même résultai en posant x = t cosp, y = r sin/>,

ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE ET DU PREMIER DEGRÉ. 33l

auquel cas on a, en divisant par rm,

<? (tangp) [cosp dr — rsinp dp) -+- % [taxigp] [sinp dr -+■ rcosp dp) = o,

ou, en posant

p — tang^.y (tang/?) -+- x (tangp)

? { tanëP ) + tanëP ■ y. ( tang/> )

- 1- Y dp = O,

d'où l'on tire, comme précédemment, l'intégrale générale