Exemples. — i° Soit donnée l'équation homogène
( x~ — y- ) dy — i xy dx = o .
En faisant y = tx, et divisant par x-, il vient
( i ■ — t- ) [x dt -4- tdx) — itdx = o, OU
f i — t- ) dt dx
t i 4- tl
i it .
En décomposant le multiplicateur de dt en ^ et intégrant,
il vient
logt — log(i -t- c2) — logcr = logC, ou -=zCx,
ou, en mettant pour/: sa valeur-,
Autrement, en employant la transformation du n° 815, et divisant par r-, on a
( cos*p — sin9/; ) (sinp dr -f- r cosp dp)
— 2 cosp sinp [ cosp dr — r sinp dp) = o,
ou, en réduisant,
— sin/? c?r -t- r cosp dpz=zo\
en séparant les variables, on en tire
dr cosp dp . .
- — — = o, logr — logsin/) = logC,
r smp
ou enfin
r = C sin/».
20 Soit encore l'équation
(j: — \Jxy —y) dx -+- V ' xf dï = °- En posant y = l2x, et séparant ensuite les variables, on a
dx i&dt
ou, en décomposant le multiplicateur de dt en
i 3 i ii
(i — ty- i i — t 2 i -+- ^
et intégrant,
Ce l~e Ct*e~
(l — t)<Jl — i1 [i — t)<Jl—t*
817. Une équation non homogène peut quelquefois être rendue homogène par une transformation convenable. Soit, par exemple, l'équation
[ax -+• by -f- c) dx + [a' x H- &'j> -t- c') dy = o.
On peut faire disparaître les termes constants dans chaque parenthèse, en posant
.r — f-f-a, y = rt -+- fi,
et déterminant les constantes a, |3 par les équations
(A) av. -+- bp -+- c = o, a'K+è'(5 + c' = o.
L'équation prend alors la forme
(«Ç 4- eu) rfg -h (fl'Ç + b'o) dr, == o, d'où, en posant r, = £ç,
r/Ç^ {a' + b't)dt
équation où les variables sont séparées.
Cette méthode serait en défaut si le déterminant des équations (A) était nul. En posant, dans ce cas,
— = — =/', <ZJC-{-bY~U,
l'équation devient
( c -+- hu ) du dx -'
[b — ak\ u H- bc — ac'
Si l'on avait, de plus,
a' b' c' abc
alors l'équation proposée pourrait s'écrire sous la forme
[ax -f- by + c) [dx -f- kdy) === o,
et elle serait vérifiée soit en prenant dx -\-kdj = o, d'où ax -f- a' y -+- C = o,
ce qui donne l'intégrale générale ; soit en prenant
ax -+- by -4- c = o,
solution étrangère en général, intégrale particulière lorsqu'on a a' = b.
On aurait atteint le même but en prenant pour variables
u — a x ■+- by -+- c, v := a! x -f- b' y •+- c'. 1
818. On peut employer pour la même équation différentielle une autre transformation, qui consiste à faire disparaître x dans le coefficient de dx, et y dans le coefficient de dj, ce qui permet de séparer immédiatement les variables. Pour cela, posons
En substituant ces valeurs, et identifiant l'équation ainsi obtenue avec une équation de la forme
[gy-\-h)dÇ-h {g'^+h')dn = o,
on trouve les conditions
g + g' = a, gl2 -+- g' \ = b, h + A' = c,
gll-hg'l2=af, [g + g')\^ = b', ni + h'l.2 = c'.
On en tire d'abord
(§•-+- g')fii + ii) = «(>i+ M = & -+- «S «V2 = b',
d'où l'on conclut que "X{ et ^2 sont les racines de l'équation du second degré
fl^(è+.a/)3i + i/ = o.
Ces racines trouvées, les équations font connaître les valeurs de g, h, g', h'; etc.
819. Une équation peut quelquefois devenir homogène par rapport à x et à z, lorsqu'on pose ^ = -• Par cette transformation, elle doit prendre alors la forme
dx -h xm-£ I - \dz = o,
ou, en mettant pour z sa valeur -»
a?7" <p ( xj) rfa: — -^- x ( «T ) r/j- = o ,
ou encore
x"l~ 2 . (.rf )2y(jy )rZr — xmy.[xy)dy = o,
équation qui peut se ramener à la forme
dx dv
Exemple. — Soit l'équation
[a1 -\- xy ) dy = xy5 dx ;
on peut l'écrire sous la forme
(a--hxy)~=xy.dx,
qui rentre dans le cas précédent. On posera donc
,, , dy tdx — xdt
xy = t, d ou — = ,
et l'équation deviendra
dx [a -+- t)dt x at 4- t~ — t6
où les variables sont séparées.
