Soit encore l'équation

xm[aydx -+- bxdy\ -+- yn[ci' y dx -\- b'xdy) =r. o,

/ , n dx , , , dy

(ax"> -h a' y'1) h ( bxm + b'yn ) — = o.

En faisant xm = \ , j " = n, on a

me,

fin

et l'équation prend la forme homogène

mt, s ' ne]

821. IV. Equations linéaires. — On appelle équation différentielle linéaire du premier ordre une équation différentielle dans laquelle la fonction^ et sa dérivée y' n'entrent qu'au premier degré, et sans être multipliées l'une par l'autre. La forme générale d'une telle équation est ainsi

(,) j' + PJ==Q,

P et Q étant des fonctions de la seule variable x. Pour intégrer cette équation, que l'on peut écrire

dy 4- Vy dx — Q dx, posons

(i) y = uv,

n et v étant des facteurs indéterminés, dont l'un peut être pris ar-

bitrairement. On en tire df= vdu -f- udv, et l'équation proposée prend la forme

( 3 ) « [dv -f- vVdx) -+- vdu = Qdx.

Choisissons v de manière à faire disparaître le premier terme, en

posant

dv -t- vVdx = o, d'où v = A e~ SVdx ,

A étant une constante arbitraire. L'équation, réduite alors à la

forme

vdu = Qdx,

devient, en mettant pour v la valeur obtenue,

du = -- e^ dx Q*/.r, d'où u = C -1- - yVp «%* Q c£c,

et, par suite, en écrivant C au lieu de AC,

y = Wp^ ( C + /Vp ^ Q Ar ) .

On voit que cette expression est indépendante de la constante A, que l'on aurait pu prendre tout d'abord égale à l'unité. On pouvait le prévoir d'avance, en remarquant que le choix de v était tout à fait arbitraire, et que, pour faire disparaître le premier terme de l'équation (3), il suffisait de prendre pour v une intégrale particulière quelconque de l'équation du -+- vVdx = o.

822. On peut arriver à la même intégration par la méthode générale de la variation des constantes arbitraires. Considérons d'abord, au lieu de l'équation (i), l'équation sans second membre ou équation linéaire homogène

dj -t- Pj dx — o.

L'intégrale de cette équation sera

j— Ce~Spd*.

Cherchons maintenant à représenter l'intégrale de Y équation complète (i) par une expression de même forme, mais dans laquelle on remplacera la constante C par une fonction inconnue u de la variable x. Cela revient à prendre pour nouvelle inconnue y di-

visé par l'intégrale de l'équation sans second membre. Lorsqu'on viendra à différentier cette valeur

les termes dans lesquels n'entrera pas la différentielle du facteur u seront les mêmes que si u était constant, de sorte qu'il s'opérera entre ces termes les mêmes réductions que dans le cas de u = G. Or, dans ce cas, les deux termes de l'expression dy -f- Vy dx doivent se détruire, quel que soit C. Donc, pour u variable, il ne restera de ces termes que celui qui contiendra la différentielle de u, de sorte que l'équation se réduira à

du.e-SVdx = Qdx, d'où l'on tire

u = C+fe-fPdxQdx,

et l'on obtient ainsi la même valeur dey que dans le numéro précédent.

Nous verrons plus tard d'autres applications de cette méthode d'intégration.

823. Exemples. — ï. Trouver une courbe dont la sous-tangente soit à l'ordonnée comme une longueur donnée a est à la différence entre l'ordonnée et l'abscisse [problème de de Beaime).

On a la proportion St'.y = a \y — x, d'où

0 = — -, fVdx

d'où

fe^dx(ldx = — je a-dx = C-t-ae s l - -4- 1

y-z= x -+- a ■+■ Ce".

Si l'on prend pour nouvel axe des x la droite y =x-{-a, les nouvelles coordonnées X, Y seront liées aux anciennes par les relations

H. — Cours de Cale, infin., II. ^

et l'équation de la courbe prendra la forme plus simple