LONGUEUR D UN ARC DE COURRE

III. L'équation de la spirale d'Archimède étant r = ap, on en tire dr = adp, et par suite [515]

ds* = dr1 -+- r2 dp*- = a? dp* ( i + p* ) , d'où s = aj dp J i -h p*. Si l'on pose p = Shcj, il vient

s = afCh^fdf = - aj (i + Cli2a>)ety =-AypH — Sh2y J -4- C,

ou enfin, en comptant l'arc s à partir de l'origine, ce qui donne

s = ~ a [logCp + \l l + P'1) +/,^1+/]'

541. Soient M(x, j^), M'(,r H-A, j^) deux points infiniment voisins, pris sur une courbe y=f(x). Désignons, sans distinction, par e toute quantité qui devient infiniment petite en même temps que h. On aura, en poussant plus ou moins loin le développement par la série de Taylor,

jr,=f[x)1 yi=/'(a: + A)=iy/ + .=jr'H-A(/r + «). Ayant ainsi les tangentes des angles M'Mx, TMx, T'M'<r {fig- 44) ,

Fig. 44-

on en tire, pour les tangentes des différences de ces angles deux à deux,

iAfy + g) i hr"

tangM'MT =

tangMM'A =

tang T'A T

i Ay

i+rir + e,

H. — Cours de Cale, infin., II.

On a donc, à des infiniment petits du second ordre près,