Soit cj(x) une fonction donnée de x, et désignons par

Jn>x X5 [x) dx, prise à partir d'une limite cona

stante a. On propose de trouver la relation qui doit exister entre trois arguments x,j, z pour que l'on ait, entre les valeurs correspondantes de la transcendante II, la relation

Pour cela, supposons z constant, et, par suite, H(z) égal à une constante C. En différentiant l'équation (i), on a l'équation différentielle

( 2». ) gt ( x ) dx • -f- ct (jr) dy = o,

dont l'intégrale générale s'obtient immédiatement sous la forme

Supposons que, par un moyen quelconque, on ait obtenu la môme

ADDITION DES TRANSCENDANTES. 3{l

intégrale générale sous une autre forme

Si dans l'équation II (x) -\-H(y) = G on fait x ~ a, H (.r) s'annule et II(j^) devient égal à C, c'est-à-dire à II (.z), d'oùj — c pourx=^rz. Introduisant ces substitutions dans l'équation (3), elle devient F [a, z) — C, et, par suite, on a, pour la relation cherchée entre les arguments x, y, z,

Si l'on représente par u, u les intégrales II (x), U[y), et par

les fonctions inverses de ces intégrales, on aura z = <d(m -h u), a = 7(0), et la relation (4) prendra la forme

827. Exemples. — I. Si l'on définit la transcendante logx par l'équation

log^f £,

considérons l'équation différentielle

dx dy

dont l'intégrale immédiate est

log.r + logj ."= G.

Si l'on écrit l'équation différentielle sous la forme

y dx -j- x. dy = o ,

on en tirera, en intégrant,

TV f"

d'où (en faisant x — 1 , jy = z),

C = z, a?j = 3 , logx + log j = log ( arj ) .

Soit <p(«) la fonction inverse de u = \ogx; les deux formes de l'intégrale deviendront

u-i-v = C, et w[u)f[v) = C.

En supposant .r = a(ù) = i, d'où u .-= o, v= C, il vient

y(C)=C, ou C — logC.

En remplaçant donc tour à tour C par u -+- y, et G' par xj", on a la formule d'addition des transcendantes logarithmiques sous les deux formes

y (m) cp(p) = <p(« -+- c) , ou eu.e*' = e"+1', et

logx + logj=log(^r).