II. Si l'on pose, par définition

l'équation différentielle

. , d.r. dy

aura pour intégrale

On peut d'ailleurs écrire l'équation (a) sous la forme

= <£r -»- dy H- (j+J' — ■ x)ydx + ( .r + y — j) .rrfr = (i — xy)d[x + jr) — {x-\-y) d{\ — xy) ,

ou, en divisant par (i — xj )-,

— o, d ou — = C .

1 — xy j — xy

Soit maintenant tangu la fonction inverse de u = Tl(x). En faisant x = o = tango, d'où ç> == C, j = tangC, il vient

taneC = C.

Donc

. . tangw + tangp

tang [u-i- v\ — - — -,

i — tang « tang p

et, en remplaçant II (x) par arc tangx,

x -+- y arc tang.r + arc tangr = arc tang — •

i — xj

On trouverait de la même manière la formule analogue relative aux tangentes hyperboliques.