III. Si l'on pose

dx

l'équation différentielle

dx dy

aura pour intégrale transcendante

Cherchons maintenant une intégrale algébrique de cette même équation. Pour cela, posons

dx dr

du,

\Ji — x* \Ji—y*

d'où

dx , dr r

— = y I — x- , — =— J l — y-. du v ' du v J

En élevant au carré ces deux équations, et différentiant par rapport à la variable indépendante u, on a

dxd-x dr r/2 Y

d'où

Posons maintenant

du- 'r' </«2 J'

les équations précédentes donneront cV- p d*2 q

dp dq dx* dy% du du du2 du'2

d'où l'on tire, par division,

d2p dp

du2 i du dq

dp dq q dp q

du du du

équation connue [812 et 827, I], d'où Ton conclut

dp

et l'on a de même

dq

du

A et B étant des constantes arbitraires. En substituant à p, q,

-y-i —^ leurs valeurs ci-dessus, il vient du du

\/ï — ■**— \/i— J*= A(.r — j), y/i — x2-h \Ji—y2=B[xA-y),

équations d'où résulte entre les deux constantes la condition

AB = — i .

On en tire, par addition et soustraction,

V i — r = — - — y jt.

A -f- B Entre les équations (a) éliminons ; il vient

ysli — a?— xsji —f2= — - — (*8— 7*):

d'où

A--B AM-i Jv/i —. A* — x sjT^-~f = — ( .r \J i — /- -4- y y/i — ./-2 ) • On a donc

(6) x\l\—f%-hy\li — xiz=a.

En faisant maintenant II (.r) = u, II (j ■-) — y, .r — y (m), J' = ?(^)>

il vient, pour x — o, u~ o, v = C, y = f (C), d'où, en vertu de

l'équation (è),

Donc, en remplaçant <p par la notation ordinaire sin, l'équation (&)

devient

sin« cosc + sint> cosw = sin(« -f- t>).

De même, en éliminant entre les équations («), il vient

- j2) = xs]\ — x* — y v'i — j-2

(.r y'1 — x'2 — y s/1 ~ x'1 ) {■t \li — j2+ y v ' l ~~ " fi)

.r y/i — r2-f-.r v''1 — -^ (.r2 — j2 ) ( y/ 1 — j.-2 y/ 1 — jr2 — xy) x \j i — J'2 -f- \j\ — x% (,r2 — r2 ) ( y/ 1 — .r2 \j i — j-- — xy)

A— B d'où

Xy __ y/ ! j* V/I jr* — — C''.

Pour x= o, y = sinC, il vient

C" = - — \J\ — j* = — cosC = — cos(« h- c]

Donc

cos u cos r — sin « sin v — - cos ( « H- c) .