IV. Soit le polynôme du quatrième degré

/(.r) = rt.r4-|- «j.r3-4- ^2.r2+ #3# + tf4,

et posons, pour abréger,

Cherchons une intégrale algébrique de l'équation différentielle

dx dr

V/X VY d'où dépend la propriété fondamentale de la transcendante

dx

Pour cela, posons

V/X ~ \/Y — On en tire

dx* ' dxd2x /,,-,» \ 7

X = — — ; 5 «X = 2 = Artjc-5 -1- o «jjr -r- 2a,x -F- «3 aj;,

d'où

2 = 4a,r "+" ûrt,.r- 4- ici vX -+- «r3,

et de même

2 ■— ■ = 4«J'3 + 3 flx j2 + 2 a2j 4- ff3, dui ' =X — Y = a(.r*— j4) +«i(^3— j3)-f-ff2(.z2— j2) + (23^ Jji

Si l'on pose maintenant x -\~ j — p, x — y = q, la dernière équation devient

rfo £&/ p1 -'r- «2 3/>2 + <72

-^F~ = aP1 ■ — ~ ■ + art -7 1- «2/"7 + fls7'

et de l'addition des deux équations précédentes on tire

2 — ^ = «p(/r + oq1) H — (fr + q' ) -f- 2tf2/J + 2«3.

En éliminant «2p -f- a3 entre les deux dernières équations, il vient d2p dpdq

dp cP p dp% dq , dp2

du- du- q-

ô = —r~ = % an dp -+- atdp,

q6 du-

el, en intégrant,

* dP* - -j- = ap* H- a lP + C,

rZ» , J.r dy f^-- i^y

ou, en mettant pour -f- sa valeur - — 1 — — = i/X. — y/ 1 , 1 du du du

(^-^=(,-jf[«(.r+jf + «1(x-fj)+C],

ce qui est l'intégrale algébrique de l'équation proposée.

La fonction Tl(x) contient comme cas particulier l'intégrale elliptique de première espèce

Jo \Jl — -r.2Jl — Px

et de l'intégrale précédente on pourrait tirer le théorème d'addition des fonctions elliptiques. Mais, pour éviter des calculs pénibles, traitons directement l'intégrale u, ramenée à sa forme normale.