A?+AX

"5* = ^~ M" = ~ *' ^ ? - Sin2 *)

= — A2 sin ( f -+- x ) sin [$—%)= — P sinp sin q.

On tire de là

cPp d°2p do

—j -— cos g —

«m- cos q au- au

1 ou — — =

et de même

d9-q du1

On a d'ailleurs

du

dpdq sin<7 dp sin q

dp

du^ du

d'où

du A sin?,

A étant une constante arbitraire. On trouve de même, B étant une

autre constante,

1 \ dq .

2 —- = B sin 7? .

De ces deux équations on tire, en éliminant du, A sin q dq =- B sinpdp,

d'où, en intégrant de nouveau,

(3) Acos<7 — Bcos/? -+- C-— o.

En mettant, dans les équations (i) et (2), pour -f-5 — -, leurs va-*

v ' v ' v du du

leurs, on a

A sin [f — /J = iy — Aj£,

Bsin(y-t-x) = Ay 4- A^.

Soit maintenant a ce que devient % pour cp = o. Ces équations donneront

— A sin o- = 1 — Acr,

B sin tr= 1 + As-, et l'équation (3), ou

(4) Acos(? — x) — Bcos(?+x)-H C' = o, donnera C = (B — A) cosa,d'où

At — t „ 4i7+i „, -acoso-

sin s sin t sin o-

Substituant ces valeurs dans l'équation (4), et réduisant, on en

tire

coscr = cosy cos^ — sin y sin;çA<7.

Soit maintenant ani m (amplitude de u) = op la fonction inverse de l'intégrale u = F(rp). On aura

X = amc, o- = am ( u -+- c), et la formule précédente deviendra

cosam («H-c) = cosamu cosanir — sinamw sinamcAam(« + c),

formule d'addition des fonctions elliptiques, d'où l'on peut tirer un grand nombre de formules analogues.

35o LIVRE IV. — CHAP. II, § III.

THÉORIE DU MULTIPLICATEUR DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE.