Nous avons vu que, lorsque la condition

dm cm

* ' dy doc

est identiquement vérifiée, l'expression Mrfx + N^j est une différentielle exacte , et qu'alors l'intégrale de l'équation différentielle

est

/[Mdv-hNely) =C.

Si la condition (1) n'est pas remplie, nous alJons montrer qu'il existe toujours un multiplicateur [x, fonction de x et de y, tel que, en multipliant par ce facteur l'expression Mdx -\- Ndy, le produit soit une différentielle exacte.

Nous avons déjà vu des exemples de l'existence de ce facteur dans les équations où les variables sont séparables, telles que les équations de la forme [813]

KiYdx + XY1rf/=o,

dont le premier membre devient une différentielle exacte lorsqu'on le multiplie par — — : ■

Nous avons rencontré des équations dont le premier membre admet plusieurs multiplicateurs différents. Ainsi le premier membre de l'équation

y dx — x dy = o

admet les multiplicateurs

— > —si -si etc.,

xy x2 y

THÉORIE DU MULTIPLICATEUR. 35l

qui donnent à ce premier membre les formes

7 1 x jT 7T

cl iog- ? — a - , d - , etc.

829. Pour prouver l'existence générale d'un multiplicateur pour toute expression telle que Mdx -i-Ndy, nous nous appuierons sur le théorème, démontré dans le Chapitre précédent, § IV, que toute équation

(2) Mdx: -4- N df = o

admet une intégrale générale renfermant une constante arbitraire G. Si l'on suppose cette intégrale résolue par rapport à G, elle sera de la forme

la fonction ¥[x,y) étant au moins susceptible d'une représentation géométrique [786].

dy Le — tiré de l'équation donnée (2) doit être égal, en tout poinl

d'une quelconque des courbes (3), au — tiré de la différentiation de l'équation (3), ce qui donne la relation

d¥ dF

, . , dx dy

Or cette relation finie, sans constante arbitraire, déduite de l'équation différentielle et de l'intégrale générale qui lui est équivalente, doit être une identité ; car, sans cela, elle exprimerait une relation entre x et y qui ne serait pas compatible avec une valeur arbitraire de y correspondante aune valeur donnée dejr, comme doit l'être l'équation intégrale générale dont l'équation (4) est la conséquence.

Remarquons, en passant, que ce que nous venons de dire s'applique à toute équation finie, sans constante arbitraire, déduite de l'intégrale générale. Ainsi, toute relation entre x et y seuls, sans constante arbitraire, déduite d'une équation F(x, y, G) =0 renfermant une constante arbitraire, doit nécessairement se réduire à une identité.

830. Les deux membres de l'équation (4) étant donc identiquement égaux, désignons leur valeur commune par p.. Cette quantité p sera une fonction de x et de y, inconnue tant que l'on ne connaîtra pas un moyen d'intégrer l'équation différentielle, mais dont l'existence, du moins, est démontrée. On a, d'après cela,

Ox ' OJ

d'où l'on tire

p(Md.x-h Ndy) — dF.

Par conséquent, en multipliant par \x le premier membre de l'équation différentielle (2), on le change en une différentielle exacte.

831. En développant la condition d'intégrabilité de l'expression

p(Mdx-±-Ndy),

d[pM) d(iiT$) dy dx

on obtient l'équation aux dérivées partielles

M ^ — N ^ - (— - d—\ — o dy dx " \ dy dx ) '

qui servirait à déterminer p, si l'on savait l'intégrer. Mais nous verrons plus tard que l'intégration de cette équation, dans le cas général, revient précisément au problème de l'intégration de l'équation (2),

On peut cependant trouver [j. dans un grand nombre de cas particuliers, et la recherche du multiplicateur constitue la méthode la plus générale pour l'intégration des équations différentielles du premier ordre et du premier degré.

Si un multiplicateur p. rend intégrable l'expression p(Mdx-\- Nrfj), qui devient ainsi égale à du, l'équation différentielle donnée (2) se trouvera alors équivalente à

— du == o .

Elle sera donc vérifiée soit en posant du = o, ce qui donne l'in-

tégrale générale, soit en posant - = o, ce qui donne une intégrale

particulière, ou bien une solution singulière, ou une solution étrangère [781].

Exemples. — I. L'équation

ydx — -xdy = o

admettant pour multiplicateur — ■> l'équation - = o donne xy = o,

xy y.

ce qui est un système de deux intégrales particulières qui se tirent

y de l'intégrale générale - = C, en supposant tour à tour C = o et

C = co •