II. Le multiplicateur de l'équation

\jy . dx — dx . dy = o

étant -r=» l'équation

yjxy

- = Jxy F-

donne une solution singulière [789, III].

833. Une équation donnée admet une infinité de multiplicateurs. En effet, si (x est un multiplicateur de l'équation Mdx -f- Ndy = o, de sorte que l'on ait

u = fp(Mdx -+- Nf/j),

y (u) du =py(ii)(Mdx-i-~Ndy) sera aussi une différentielle exacte, quelle que soit la fonction cj>. Donc p.y(u) sera encore un multiplicateur de l'équation différentielle. L'intégrale obtenue au moyen de ce nouveau multiplicateur est la même que dans le premier cas; car il revient au même de poser u = const. ou de poser <î> (u) = const., <£ désignant une fonction quelconque.

Réciproquement, si p et (jt, sont deux multiplicateurs de la même équation, de manière que l'on ait

« [Mdx -+■ Ndy) = du,

f*! [Mdx -{- Ndy) = duVi

H. — Cours de Cale, infîn., II. 2o

354 LIVRE IV. — CHAP. Il, § III.

la quantité

dul = — du frétant une différentielle exacte, il résulte d'un théorème démontré au n° 779 que — est une fonction de u. Donc le multiplicateur p. t est compris dans la formule ^©(u).

834. Il s'ensuit de là que, étant donnés deux multiplicateurs différents p., \x{ d'une même équation différentielle, on obtiendra l'intégrale générale de celle-ci en égalant à une constante arbi-

traire le quotient — •

Ainsi, l'équation

xdy — ydx = o

admet comme multiplicateurs

— ■> P-i = — xy x-

Elle a donc pour intégrale générale

835. Donnons maintenant quelques applications de la méthode du multiplicateur à l'intégration des équations différentielles.

[. Divisons l'équation (2) [828] par N, et mettons-la sous la forme

dy + Lf/i=o,

en faisant, pour abréger, L = — • Cherchons dans quels cas cette

équation deviendra intégrablc au moyen d'un multiplicateur fonction d'une seule des variables, de x seul, par exemple.

En écrivant la condition pour que \l [dj -+- hdx) soit une différentielle exacte, il vient, [x étant indépendant de y,

dp d(pL) f)L dx ~~ dy dy '

I dy. dh

[t. dx dy

Puisque p. est une fonction de x seul, il devra en être de même de — ? et, par suite, il faut que L soit de la forme

X et X, étant des fonctions de x. Alors l'équation proposée doit

être de la forme

dy -h X.ydx -f- X! dx = o,

c'est-à-dire qu'elle doit être linéaire. Alors la valeur de f/. sera donnée par l'équation

— = X dx, d ou u. — e 1

en particularisant la constante arbitraire qui devrait être en facteur, ce qui est permis, puisque évidemment la multiplication par un facteur constant n'a aucune influence sur l'intégrabilité de la fonction. Le premier membre de l'équation devient, en multipliant par fx,

ef***dy -hyes*dxTLdx -\- e'^X, dx,

d'où, en intégrant,

ce qui nous ramène à la formule trouvée [821] pour l'intégration de l'équation linéaire.

On voit que, dans ce cas, le quotient — doit être de la forme Xjy-l-Xj, et le multiplicateur de l'équation M^r + Nrfj=o

est alors — eIXdx-

Si le quotient — était de la forme Yx -+- Y, , Y et Y, étant des fonctions dejr, on verrait de même que le multiplicateur serait

I fïdy