II. L'équation
(2) Mrfj + Nrfj^o
peut s'écrire sous la forme
1 , . I dx dy\ 1 , . I dx dy\
- (M, + N,) {- + j) + - (M« - Xjr) (- - f ) = »,
ou bien
(2)' - (Ma + Nj) r/log(.rj ) H (Ma; — Nj) f/log - = o.
Les fonctions M.r-i-Nj, Mx — Ny, qui multiplient des différentielles exactes, ne peuvent être toutes les deux identiquement nulles, sans quoi M et N le seraient aussi. Examinons d'abord les cas où l'une des deux serait nulle.
i° Si Ma: H-Nj" est identiquement nul, le premier membre de l'équation se réduit à
d'où
Md.r-h'Ndr 1 ,, x —r. ^ — = - d l0£ - ■
Ma,-— N> 2 bj
Le second membre étant une différentielle exacte, le facteur
d'intégration de l'équation ( 2 ) sera donc — — - •
20 On verrait de même que, si Mx — Ny est identiquement
nul, le facteur d'intégration sera — -— •
3° Supposons qu'aucune des deux quantités Ma +Nj-, Mx — Ny ne soit identiquement nulle, et divisons d'abord le premier membre de l'équation (2)' par Mx + Nj\ Il vient
Mdx-\-~Ndv 1 „ , . 1 Hx — Nr „ x
■ = - dlos ( xy H d log - = o.
Le premier membre sera une différentielle exacte si
Mx — Nj x
M.r + Nj g j
M^c Ny x
en est une, et, par suite [7791, si — — — ~±- est une fonction de I02: -
r l J M*+ Ny bj
ou de -5 c'est-à-dire, si — est une fonction de ce rapport -■ C'est
ce qui a lieu, en particulier, lorsque M et N sont des fonctions
homogènes du même degré de x et de y. Ainsi, dans le cas d'une
équation homogène, le facteur d'intégration est
Mx-t- Nj
à moins que Mx -+- ~Sy ne soit identiquement nul, auquel cas nous
avons vu [ i°l que le multiplicateur serait — — - •
4° Divisons l'équation (2)' par Mx — Nj, ce qui donne
Mdx -h^dr T M.r-4-Nr , , . I „ x
M.r — i\ y 2 M x — Nj l ; 2 b j
r . , .,,-,. M.r-f- Nr r
Le premier membre sera intégrante si — - est une tonction
1 & Mx — Ny
Mx
de xy, c'est-à-dire, si le rapport — — ' est une fonction de xy, condition qui est satisfaite si l'on suppose
M — - y y ( xy ) , N = x ^ ( xy ) .
Donc, dans cette hypothèse, le multiplicateur de l'équation (2) sera
*sauf le cas de Mx ■ — Ny = o, dans lequel (20) le multiplicateur
est rr s— •
Mx -f- JNr
Remarquons que, si l'on change j' en -■> l'équation (2) devient
dz
M dx — N — - = o,
N où M et N sont remplacés par M' = M, N' = — — ■ On a alors
de sorte que le premier membre de l'équation transformée est homogène par rapport à x et à z, et l'on se trouve dans le cas (raité au n° 819. On a alors
Mjt + JN's Mx — JN y 837. Exemples. — I. Soit l'équation homogène
( x -F y ) dx — ■ ( x — j) rfj = o.
En divisant par (x -\- y) x — (x — y)j =x2-]-j-, le premier membre devient
(x -i-y)dx.~ (x -~y)dy x* -\-y
ce qui donne, en intégrant,
Jog " — h arctang — — o,
équation de la spirale logarithmique.
