KI
en posant l = '-•> d'où
dt t dt
dx .v d y
et l'équation aux dérivées partielles du n° 831, à laquelle doit satisfaire la fonction y., deviendra
dy 6*.^ c? loçœ f f ) H .E2 dt — o.
b' l j M^ + Njr Pour que cette équation subsiste, il faut que
, /dM dN' \ dy for,
Mx + Nj
soit une fonction de £ ou de -> c'est-à-dire une fonction homosène
du degré zéro, ce qui a lieu, en particulier, lorsque M et N sont deux fonctions homogènes de même degré.
Il y a exception dans le cas de Mx -f- ~Ny = o.
2° Par un calcul semblable, on verra que, pour que le multiplicateur soit une fonction homogène de degré ni,
il faudra que l'on ait
, /dM x- [ —
, /dM dm
x- [ — — - — m Nx
7i / \ \df dx d\og<t[t)-\ x — 7,T ' —dt=zo.
On en conclut que
a Y dx J
doit être une fonction homogène du degré zéro, ce qui a encore lieu lorsque M et N sont deux fonctions homogènes de même degré.
3° On verra de même que le multiplicateur sera une fonction
de xy si
dM dN dy dx M x. — N y
est une fonction de xy, ce qui a lieu, en particulier, lorsqu'on a
M = y y(xy), N = .r y [xy ) .
839. IV. Appliquons la méthode du multiplicateur à l'intégration de l'équation
( i) aydx -f- bxdy = xmyn [a'ydx -f- b'xdy'j,
a, h, a', V étant des constantes. Pour cela cherchons, pour chacun des deux membres, la forme la plus générale de son multiplicateur, et nous verrons ensuite s'il est possible de faire coïncider ces deux formes, ce qui donnera le multiplicateur de l'équation tout entière.
L'expression aydx-\~bxdy devient une différentielle exacte
lorsqu'on la multiplie par- — > et l'équation ay dx -f- bxdy = o
xy
a pour intégrale
log(xayb) = const., ou .zaj6=const.
Donc la forme la plus générale du multiplicateur de cette expression est [833]
On verrait de même que la formule la plus générale du multiplicateur du second membre de l'équation (i) est
\ y f VCC' b> \
Pour faire coïncider ces deux formules , il faut donc choisir
THEORIE DU MULTIPLICATEUR. 36l
les fondions cp et ^ de manière que l'on ait
— ?[xayb) = ) yUa'rb'),
XV x'"~hl y'1+
ou
xmyn ? [xayb ) = ^ [xa'yb'
Cherchons à déterminer ces fonctions, en les supposant égales respectivement à des puissances de degrés indéterminés v, s, ce
qui donne
xmyn [xayh ) r = 'xa'yb' )•%
d'où
ar -+- m = a's, br -4- n = b's,
an — h' m an — bm
ab' — a' b ab' — a ' b
sauf le cas où l'on aurait a \ a'= b \ b', et dans lequel l'équation (i) s'intégrerait immédiatement. D'après cela, le multiplicateur de l'équation (i) sera
rar — 1 ybr~l —— ^l's — m— 1 ,b's — n — 1
et, en faisant la multiplication, l'équation deviendra
xar- lyhr-l ^aydx -4- bxcly) = ^ s-\ yb' s-\ [a'ydx + b'xdy),
d'où l'on tire, en intégrant,
c«r ybr — Ta'Sy.b'st Q r s
840. V. Voici une autre méthode qui s'applique à l'équation précédente et à un grand nombre d'autres. Considérons l'équation
Mdx -f- Nrfj = Pdx -f- Qdy,
et supposons que l'on sache déterminer les multiplicateurs p et v des deux membres de cette équation, ce qui est possible toutes les fois que l'on sait intégrer séparément les deux équations
M dx -+- Nf(y = o, Pdx -4- Ody = o. Soit alors
y. ( M dx -4- ytdy) = du, v ( Vdx -+- Qdy) = dv ;
l'équation proposée deviendra
du — . — dv, ou vdu — pdv = o,
et, si l'on exprime x et y en fonction de u et de v, on obtiendra, par la substitution de ces valeurs dans p et dans v, une équation différentielle entre u et u qui pourra rentrer dans un des cas que l'on sait intégrer.
Exemples. — i° Appliquons cette méthode à l'équation du numéro précédent. On a dans ce cas
et, en représentant les différentielles
a ( M dx H- N dy) , v ( P dx -+- Qdy)
du dv par — , — , on aura 1 u V
u — x"yl}, y — xa'yb' .
L'équation différentielle devient alors
.Xn"J
du jx dv dv
Or, en résolvant les équations
a logx — b log y = \ogu, a' \ogx + b' \ogy = loge,
il vient
b'\o'lu — blogv , a \ogv — a \ogu
log-* = 77 tjt- ' loëf = V îa '
«i — ab ab — ab
d'où, en faisant, pour abréger,
a! n — b' m an — bm
r = —77 rr ' -v = ~Tï rr »
«o — a b au — a b
on tire
\og[x"ly" ) = — /-log*/ ~i- ^ loge, xmy" = u~ 'V,
et l'équation différentielle devient
u'~~ldu =. vs~ldf>,
dont l'intégrale est
ur vs
— = h C, etc.
2° Soit l'équation
.r2j'? (d.x — bdy^i -f- a (fax — -T.df\ = o.
En multipliant respectivement les deux termes de cette équation par
Ayi Xy-
on obtient les différentielles
rfr r/.r dy
du =z dx — b rfy, — = — :
d'où l'on tire
U rrr: X — hj, V
L'équation différentielle devient alors
i a dv
— du + — o,
c'est-à-dire
Oi
XY du -f- (2 ■ — — O.
v — b [v — or
et l'équation différentielle devient
, alv — b)2 7 irdu H s ■ — -- dv — o,
-h a ( c — - ) - - i ab loge == C, etc.
d'où Ton tire
841. VI. L'équation que nous venons d'intégrer est un cas particulier de l'équation plus générale
Mdx 4- T$dy -h P {jdx — xdjj = O,
dans laquelle M et N sont deux fonctions homogènes du même
degTé m, et P une fonction homogène du degré n. Si Ton fait
M = :cmo ( ^ ) , N = Xm% ( ¥ ] , p — .rn^ ( *- ] , puis ^ = t,
l'équation devient
xm ?[t)dv + .xm %[t) (x dt H- tdx) -f- xn+*- ■l>[t)dtz= o, ou
d.x vit) „ -h[t)
dt ' f{t)-htZ{tj ?[t)-t-tX[f}
équation de Bernoulli [824], qui serait linéaire si Ton avait
m = ii -f- 2.
En appliquant cette transformation au second exemple du numéro précédent, il vient
x'*fî[dx — btd.r. — bxdt) -+- ax^dtr=z o, ou
dx bx a
dt i — ht ' il (i — ht) ou enfin
dt I — ht ?2(l — fa)
dont l'intégrale est
^-y3 ]~C -+- 3« (&af — -) — zablogt]
fa
842. On peut ramener au cas que nous venons de traiter l'équation suivante, connue sous le nom d: 'équation de Jacobi :
[a -J- a'.x + d'y) [x dy — rdx'j — [b -f- //x H- //'jr) r(y H- [c -f- ex -f- c"j-) r/<r = o .
Il suffira, pour cela, de faire disparaître les termes constants dans les parenthèses et de ramener l'équation à la forme
(A'Ç-t-A"u)(Ç^ — r,d%) — [B'Ç-f- T&%)dn -+- [C'Ç + C"v)dÇ = o,
en posant
THÉORIE DU MULTIPLICATEUR. 36j
-) - étant deux indéterminées. Si Ton substitue ces valeurs dans
ce a
l'équation donnée, elle devient
[al 4- a"n) ( %(h — odq
V av. + «'fi 4- a"y S , ,
V av. -+- a'°j 4- a" y y . , „ . "1
- ^-' *■ -r, 4- l [a'% 4- a" ci) — c'I - c"tj
r«« 4- a'fl 4- a"-/ °> bu. 4- &'£ 4- 6"/l ,
p7« + a'p -f- a" y y cv. -+- c'3 + c"y~\
rfH = o.
En égalant à zéro les coefficients des deux dernières lignes, il vient
av. 4- a' 3 -4- a" y bv.-\- b'3 4- b"y ca 4- c'3 4- c"y ~V~ ~f~ ~y~
Si l'on représente par À la valeur commune de ces trois rapports, on aura les trois équations
[a — À) k 4- a'3 4- a" y = o, b a. 4- [h' — }.) 3 4- b"y = o, cv. 4- c'/3 4- [c" — a) y = o,
d'où l'on tire
Cette équation étant résolue, on aura «, (3, y par les proportions
dR dR dR
da * da' " d«"
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE ET d'un DEGRÉ
