SUPÉRIEUR AU PREMIER PAR RAPPORT A — • INTÉGRATION

dx

PAR DIFFÉRENTIATION.

843. Lorsqu'une équation primitive est du premier degré par rapport à la constante arbitraire, comme l'équation

u -4- Cf'= o,

a et c étant des fonctions de x et de y, l'élimination de cette constante conduit immédiatement à une équation

du rlv

du premier degré par rapport a — ■ Mais, si l'équation primitive

contient la constante arbitraire sous une forme quelconque, alors l'élimination de G entre cette équation et sa différentielle conduira généralement à une équation

qui ne sera pas du premier degré par rapport à -f-j lorsqu'on

l'aura délivrée des radicaux.

Si nous supposons l'équation (i) résolue par rapport à C, elle fournira pour cette constante différentes valeurs en fonction de x et de y,

(3) Ci = u-i, C2— u2, . . .,

et chacune de ces équations, qui n'auront pas lieu à la fois, mais dont une seule pourra être vérifiée dans chaque hypothèse, don-

ÉQUATIONS DE DEGRÉ SUPÉRIEUR EN y'. 36;

nera une équation différentielle

(4) g-*=°. a-ft=». ....

On peut grouper toutes les équations (3) sous la forme d'une seule équation, en égalant à zéro le produit des quantités qui s'annulent en vertu de ces équations, ce qui donne l'équation

(5) (d— «i)(Câ— ut)... = o,

qui est équivalente à l'équation (i). Gomme un seul des facteurs doit s'annuler, les fonctions ii\, u*, ... ne pouvant, en général, rester constantes en même temps, il importe peu de désigner, dans ces divers facteurs, les constantes arbitraires par la même notation ou par des notations différentes; de sorte que, au lieu de l'équation (5), on peut prendre l'équation équivalente

(6) (C— ki)(C — «,)...= o.

Cette dernière forme a sur la précédente (5) l'avantage de pouvoir se simplifier par des réductions, ce qui ramène à l'équation (i).

Gela revient à considérer les diverses séries de courbes représentées par les équations (3), séries qui seront tout aussi complètement représentées si, au lieu de désigner les constantes arbitraires par C|, Co, ..., on les désigne toutes par le même symbole G. Lorsqu'on fait le produit (5) des équations

uv — Ci = o, «2 — C2 = o, ...,

si l'on établit entre C|, C2, ... une relation quelconque, celle d'égalité par exemple, cela revient à associer ces diverses courbes de certaines manières; mais, en donnant à C toutes les valeurs possibles, la série des groupes comprendra toutes les séries particulières représentées par les équations (3).

Ainsi les intégrales des équations (4), auxquelles équivaut l'équation (2), seront aussi complètement représentées par l'équation (6) que parles équations (3) ou par l'équation équivalente (5). On peut s'en rendre compte en considérant la représentation géométrique que nous avons indiquée au n° 786. Ici la surface représentée par l'équation (1), et dont l'ordonnée est C, se composera

de plusieurs nappes, et l'on obtiendra l'ensemble de toutes les lignes de niveau de la surface soit en menant une série unique de plans horizontaux dont chacun coupe les diverses nappes, soit en coupant séparément chaque nappe par une série particulière de plans horizontaux.

844. Réciproquement, étant donnée l'équation différentielle (2), pour l'intégrer, on commencera par la décomposer en facteurs du

premier degré par rapport à -'■■-•> en 1& mettant sous la forme

ce qui revient à poser les équations (4). Si l'on intègre celles-ci séparément, et qu'on suppose les intégrales mises sous la forme (3), on pourra réunir ces intégrales sous la forme (5), ou, ce qui revient au même, sous la forme (6).

Exemples. — I. Soit donnée l'équation différentielle

On en tire pour j' les deux valeurs

y' = -f- - \jxy, y sjxy ,

qui correspondent aux intégrales