II. Soit l'équation

a0, àl} . . . , an étant des constantes. Si l'on désigne par pit p2) . . . , pn les n racines constantes de cette équation, on verra qu'elle

ÉQUATIONS DE DEGRÉ SUPÉRIEUR EN y'. 36g

équivaut aux n équations différentielles

/ — Pi=o, y'—p2=o, ..., y~Pa=o,

dont les intégrales sont y — ih x — G = o, y — p=> -v — C = o, . . . , r — pnx — G = o,

— /?i=o, p> = o, ..., — pn=o.

Si l'on fait le produit de ces équations, on obtiendra un polynôme qui ne sera autre chose que ce que devient le premier membre de

l'équation proposée, lorsqu'on y remplace y' par - — —■> c'està-dire

/r — c\" /r-oy-1

845. Il y a des cas où l'on peut intégrer l'équation différentielle (2) sans avoir besoin de la résoudre par rapport à — •

i° Supposons que l'équation ne contienne qu'une seule des variables x,y, par exemple x, de sorte que l'on ait

Si l'on peut résoudre l'équation par rapport à x, elle deviendra

d'où l'on tire, en différentiant, et remarquant que dx = — ?

dy=r'<?'{y')df', et, en intégrant,

N y=fy'?'(S)dy>+C.

L'élimination de y' entre les équations (i) et (2) donnera l'intégrale cherchée.

De même, de l'équation

H. — Cours de Cale, infinit., II. ^

résolue par rapport à y et mise sous la forme

(3) x = yXr% on lire, à cause de dy — y' dx,

dx^^dy', d'où

(4) x==J*lpdy'+C,

équation qui, combinée avec (3), donnera l'intégrale demandée. Exemples. — I. De l'équation

on tire

dy = 3r'3dy', yz=-7y'i-\-C, 4*

d'où, en éliminant j ' ,

x — ir= o.

On aurait pu aussi obtenir ce résultat en mettant l'équation proposée sous la forme

± dj ■ — ( x — 1 ) 3 dx.