Soit l'équation
On en tire
dx = idy' -+- 6y'dj ' , x = iy' -\- 3j '- -i- C, etc. 84-6. 20 Une équation de la forme
peut se changer, par différentiation, en une équation linéaire soit
, jdx . , dy
par rapport a a: et a — > soit par rapport a y et a J7) comme on
peut s'en assurer immédiatement en différcn liant et éliminant soit v, soit x.
ÉQUATIONS DE DEGRÉ SUPÉRIEUR EN y'.
Exemple. — Soit l'équation
Elle donne, en différentiant,
dx H- y' dy -+- ydy' = 2 ay' dy .
En éliminant y et dy, il vient
fz y'~ — ■ x dx H- yndx + / rfj' == 2 tfj-' f/>'',
ou
r/.r x or'
dy' /(i+/*] i-:-/1 dont l'intégrale est [821]
•* = /-^-,- [C + « l0g(/ -■- jl-i-S*)],
ce qui donne
j — a)' , [ C + a log ( y' -;- v i -+- y'- )] •
On serait arrivé au même résultat en éliminant x et c/x.
847. 3° Equation de Clairaut. — Gomme cas particulier de l'équation du numéro précédent, considérons l'équation
(i) y= xy'+fly').
On en tire, en différentiant,
ce qui donne les deux solutions
( 3 ) -^- r= o, d'où y' = C.
Cette dernière solution, combinée avec (r), donne l'intégrale générale
'À) y==Cx+f(C
L'autre équation, qui donne pour j^' une valeur variable, et qui, par conséquent, ne peut rentrer dans l'intégrale générale, est une solution singulière.
Exemples. — 1. L'équation
W — j) v' i + y' ' = ay'i ou y = y'x —
donne, en différentiant,
dy,
d'où l'on tire d'abord
dy = o, y=c,
et par suite
y = Cx —
\/i -+- C2 puis, en égalant à zéro l'autre facteur,
x = ^ , d'où y = x 3 y câ — a?3, etc.
II. Nous avons trouvé [689], pour l'équation différentielle des lignes de courbure d'une surface à centre du second degré,
^jr(A + Bj'2) — (A.r2+Bj2 + K)/=o.
port à m, prend la forme
dr, Si l'on pose x- = \, y- = 73, — = v/, l'équation, résolue par rap-
A — BV
équation de Clairaut, dont l'intégrale générale est, en remettant pour \ et n leurs valeurs,
v* r ■ *. KC ^ = C*+Â=BC"
On a la solution singulière, en éliminant y;' entre l'équation (A) et sa dérivée par rapport à y/,
KA 0 = 5+ (A- B,'î«"
ÉQUATIONS DE DEGRÉ SUPÉRIEUR EN y'. 3^2
