Etant données deux équations de la forme

si leur différentiation conduit à une même équation différentielle du second ordre

il s'ensuivra de là que les équations (i) sont deux intégrales premières de l'équation (2), dont on obtiendra l'intégrale générale en éliminant^' entre ces équations (1). Si l'on égale à zéro une fonction quelconque des premiers membres cp ely^ des équations (1), l'équation obtenue

pourra remplacer l'une des équations (1), la seconde, par exemple, dans laquelle la constante G' serait particularisée et déterminée au moyen de C par la condition

En éliminant donc j^' entre l'équation & = C et l'équation (3), on aura l'intégrale de (2), dans laquelle il ne restera plus, en vertu de (4), qu'une seule constante arbitraire. On aura donc une équation primitive, satisfaisant à l'équation du premier ordre (3), et ne renfermant qu'une constante arbitraire. Ce sera donc l'intégrale générale de (3).

Si donc, étant donnée une équation différentielle f (x,y,j ') = o, on peut la mettre sous la forme (3), où © = C et % = C conduisent par la différentiation à une même équation différentielle du second ordre, on aura l'intégrale générale de l'équation proposée en éliminant^' entre cette équation et l'une des équations (1).

Exemples. — I. Reprenons l'équation de Clairaut

On peut la mettre sous la forme

y — xy'=f(y'),

et, comme chacune des équations

(a) y-xy> = C, f(j') = C

conduit, par la différentiation, à la même équation du second ordre dj1 '== o, on en conclut que les équations (a) sont les intégrales premières d'une même équation différentielle. On aura donc l'intégrale générale, en éliminant y' entre l'équation proposée et rime des équations (a), la seconde par exemple, qui donne

y = C", d'où j=C"^H-/(C"), comme nous l'avions trouvé plus haut.