II. Soit l'équation

( è ) ,r \/ 1 -+- y" — / (■* + yf ) ■

Les deux équations

étant différentiées, donnenl

-j^—. (i '-+-/*■+ yy") - o, f[x +yy')(i -h y'-^yy") = o.

Vi+JJî

Llles satisfont donc lune et l'autre à l'équation du second ordre

L'équation f{x ~hJJr) = C' donne

x4-x/=cr-t y= — — ,

et, en substituant cette valeur dans l'équation proposée, on a l'intégrale générale

On aurait pu intégrer la même équation (/>) en procédant comme nous l'avons fait [847] pour l'équation de Clairaut. La différentiation donne

ÉQUATIONS DE DEGRE SUPERIEUR EX y. 3j5

En égalant à zéro le second facteur, on a

dx H- y dy -+- y dy' = o ,

d'où x — G -\- yy' — o, ce qui conduit au même calcul que tout à l'heure.

Remarquons que, en égalant à zéro le facteur

-7-^-7- -s{*+jry)

de l'équation (c), et éliminant^' entre l'équation obtenue et l'équation (b), on trouvera la solution singulière de l'équation (b), que l'autre méthode ne faisait pas connaître.

849. On peut encore intégrer des équations différentielles par diverses transformations particulières.