SOLUTIONS SINGULIÈRES DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE

850. Nous avons vu (Chap. I, § II) que l'on entend par solution singulière d'une équation différentielle du premier ordre une relation entre les variables x,y, sans constante arbitraire, qui ne peut pas se déduire de l'intégrale générale en particularisant la constante arbitraire, et qui donne cependant, pour la dérivée -—t une

valeur en x et y satisfaisant à l'équation différentielle, en vertu de cette relation elle-même.

En employant le langage géométrique, une solution singulière est Y enveloppe de la série de courbes représentée par l'intégrale générale de l'équation différentielle, c'est-à-dire une courbe rencontrant tangentiellement toutes les enveloppées (*) et coïncidant avec le lieu de leurs intersections successives [582].

(') Du moins entre certaines limites [588. III J.

Si l'on construit la surface dont les lignes de niveau ont pour projections les enveloppées [786], l'enveloppe est le contour apparent de cette surface relativement au plan des xj. Voyons comment, en partant de ce dernier point de vue, on peut déterminer la solution singulière d'une équation différentielle dont on connaît l'intégrale générale.