Soit

l'intégrale générale de l'équation différentielle

et supposons d'abord que l'équation (1), si elle est algébrique, soit préparée de manière à ne contenir ni radicaux ni dénominateurs en x, y, C; et, si cette équation n'est pas algébrique, admettons que son premier membre jouisse, comme les fonctions sinus, cosinus et les exponentielles, de toutes les propriétés d'une fonction entière indépendantes du degré d'une telle fonction, c'est-àdire qu'elle ne devienne infinie, non plus que ses dérivées partielles, pour aucun système de valeurs finies de x,r, C.

Le cylindre circonscrit à la surface (1), et dont les génératrices sont parallèles à l'axe des C, est déterminé par la condition qu'en chaque point de la courbe de contact avec la surface la normale commune à cette surface et au cylindre est perpendiculaire à l'axe des C. Donc le cosinus de l'angle que fait cette normale avec l'axe des G est nul, c'est-à-dire que l'on a

ÔF dC

dx \dr \àC

D'après l'hypothèse que nous avons faite sur la forme de la fonction F, les deux dérivées partielles — 5 -— ont des valeurs finies.

L dx oj

Donc l'équation (3) ne peut avoir lieu que si l'on a

"5J8 LIVRE IV. — Cil A P. II, § V.

Cette dernière équation, jointe à l'équation (i), déterminera la courbe de contact de la surface et du cylindre parallèle à l'axe des C. Si l'on élimine C entre ces deux équations, l'équation entre x et y que l'on obtiendra sera celle du cylindre circonscrit qui projette la courbe de contact sur le plan des xy.

Le plan tangent à la surface et au cylindre en un point M de la courbe de contact contient à la fois la tangente à la courbe de contact et la tangente à la courbe de niveau qui passe par ce point. La trace de ce plan tangent sur le plan des xy sera la projection commune de ces deux tangentes, et, par conséquent, louchera à la fois la projection de la courbe de contact et celle de la courbe de niveau. Donc le contour apparent de la surface (i) est tangent, en chacun de ses points, à celle des enveloppées (i) qui passe par ce point.

Or la tangente à l'enveloppée qui passe au point (x, y) a pour coefficient angulaire la valeur de y tirée de l'équation différentielle (2). Donc la valeur de y' tirée de l'équation de l'enveloppe est égale, pour chaque système de valeurs de x et der satisfaisant à l'équation de l'enveloppe, à la valeur de y1 tirée de l'équation (2), c'est-à-dire que l'équation de l'enveloppe donne une solution de l'équation (2).

La courbe de contact n'étant pas, en général, une courbe de niveau, l'équation de l'enveloppe ne se confondra généralement avec l'équation d'aucune des enveloppées et ne pourra se déduire de l'équation (1) par aucune particularisation delà constante C. Donc cette solution de l'équation (2) ne rentre pas dans l'intégrale générale, et, pour cette raison, on lui donne le nom de solution singulière.

Remarquons que l'égalité des valeurs de y' en x et y, tirées de l'équation différentielle (2) et de l'équation de l'enveloppe différentiée, n'a lieu que pour les points de l'enveloppe. Ces deux valeurs dej'ne sont pas généralement identiques; elles deviennent seulement égales en vertu de l'équation de V enveloppe.