Remarquons encore que l'on a, en un point quelconque
de la surface (i),
ÔF dF
dC d^ dC dy
~dx~~~~&ë' ôy~~~dF" âC dC
Or, si l'on suppose la fonction F entière et rationnelle (ou jouissant de propriétés analogues à celles des fonctions entières et rationnelles), les trois dérivées partielles de F ne pouvant s'éva-
dF nouir simultanément que par exception, la condition — = o, qui
a lieu en tout point de la ligne de contact, entraînera les conditions
.„. dC dC
l>6] <fc=00' ^ = C°'
dont l'une est généralement la conséquence de l'autre.
Ces équations (6) peuvent encore se déduire de la condition que le plan tangent à la surface (i) soit, en chaque point de la courbe de contact, parallèle à l'axe des C. En effet, l'équation du plan tangent
ne peut être indépendante de X, que moyennant les conditions (6) ou au moins l'une d'elles. Si une seule est vérifiée, le plan tangent est constamment parallèle au plan des zj ou à celui des zx, et l'enveloppe se réduit à une parallèle à l'un des axes coordonnés. Nous avons vu [583 et suivants] d'autres méthodes pour obtenir la solution singulière comme enveloppe des courbes représentées par l'intégrale générale. Nous ne reviendrons pas sur les diverses remarques que nous avons présentées dans ces articles.
854. La condition nécessaire et suffisante pour que la courbe, obtenue en substituant dans l'équation (i) la valeur de C tirée de l'équation (3), satisfasse à l'équation différentielle dont (i) est l'intégrale générale est que la valeur de y, tirée de (i) dans l'hypothèse de -G constant, soit la même que la valeur tirée de la même équation dans l'hypothèse de C variable. 11 faut donc que les deux
valeurs
ÔF ÔF ÔF dC
àx , dx dC dx
dF J ^F dF
ôr à y ôr
soient égales pour tous les points de l'enveloppe, ce qui exige que l'on ait pour tous ces points (en exceptant le cas où l'on a y' = zc )
dF dC ôCdi
ÔF
Si on laisse de côté la solution — = o, on voit que la condition nécessaire pour que cette équation soit vérifiée est
dF ÔC
dx
et, si -r- ne peut être supposé infini, cette condition se réduit à
ÔF
Mais, si cette condition est nécessaire, elle cesse d'être suffisante
ÔF lorsque la valeur de G que l'on en tire fait évanouir -r- ■> et par suite
ÔF aussi, en général, -r- [852]. Dans ce cas, il faut, après avoir éliminé G entre les équations (i) et (4), vérifier directement que la valeur de y' tirée de l'équation ainsi obtenue est bien égale à celle que donne, pour chaque point de la courbe représentée par cette équation, l'équation (i) dans l'hypothèse de G constant ; et cela
ÔF ÔF d'autant plus, que la vraie valeur du rapport -r- : — pour C variable
pourrait être différente de la vraie valeur pour C constant.
Les relations
ÔF ÔF
ô.t ôj-
sont, comme nous l'avons vu [593 et suivants], celles qui caractérisent les points singuliers de la courbe (i) pour chaque valeur attribuée à C. En éliminant donc G entre l'une de ces équations, la seconde par exemple, et l'équation (i), on aura généralement le lieu d'un point singulier de la courbe (i), et ce lieu pourra être l'enveloppe d'une des branches de courbe qui passent par ce point. Mais il n'en sera pas toujours ainsi.
Exemples. — I. Soit l'équation intégrale générale
(0 [x- c)*+ [x - c)« - (j -+- cy = o.
dF L'équation — - = o est ici
3 [x — C)2 -4- 2 [x -+- y) — o, d'où, en posant, pour abréger,
on tire
x — C — u, y H- C == — u u-, iâ \i -\- ~ u} ~: o.
De là les deux solutions
n — o et u — »
c'est-à-dire
A chacune de ces deux solutions correspond la valeur y' = — 1. Si l'on difïerentie maintenant l'équation (1) dans l'hypothèse de G constant, il vient
3 [x — C)2 4- 2 (x — CI — 2 ( y -h C) / = o, et la valeur de y' devient, pour x — G = u = o, de la forme -« En différentiant une fois de plus, il vient, dans la même hypothèse,
2 — iyn = o, c'est-à-dire
L'une de ces valeurs, y'= — 1, est la même que celle qui résulte delà
solution x -f- y — o. Donc cette solution représente l'enveloppe de celle des deux branches de courbe qui correspond &y' = — i, et cette enveloppe est en même temps le lieu du point double,
intersection des deux branches. L'autre solution x -f- r = — — -
donne l'enveloppe d'une branche de la courbe correspondante à un point simple.
