II. Soit la courbe

( 2) r" H- [x — C)2 H- Cr [x — C) = o.

En différentiant l'équation par rapport à C, on en tire

d'où, en substituant dans (2),

La solution y '= o, qui répond à C — x, donnej'— o. Or, en différentiant l'équation (2) dans l'hypothèse de C constant, la valeur

de y' pour r ~~ o, C — x se présente d'abord sous la forme -• Mais,

en différentiant l'équation une seconde fois, la valeur dej7 devient

co ou — -» et, par conséquent, 7 =0 ne convient pas aux courbes

(2) pour x— C. Donc y = o ne représente pas une enveloppe de ces courbes.

855. Solutions singulières déduites de l'équation différentielle. — Soit

l'équation différentielle donnée. Nous pouvons considérer cette équation comme représentant une surface dont y1 serait l'ordonnée perpendiculaire au plan des xy. A chaque point (x,y, C) de la surface qui représente l'intégrale générale

(2) F[*,.jr,C)=o

correspond un point de la surface (1) [x,y, y').

Si en un point M[x,y) du plan des xy se coupent deux enveloppées correspondantes aux valeurs G et C| de la constante, ces

deux courbes auront deux tangentes différentes dont les coefficients angulaires seront les ordonnées de la surface (1) menées par le point M. A mesure que C( tend vers C, et M vers un point de l'enveloppe, les deux valeurs de y' tendent à devenir égales, de sorte que, pour un point de l'enveloppe, l'ordonnée devient tangente à la surface (i). Donc le cylindre parallèle aux C et auxj'', qui est circonscrit à la surface (2), est tangent aussi à la surface (1), et, par conséquent, l'enveloppe est le contour apparent de la surface (1) ou du moins fait partie de ce contour ; car rien ne prouve que, réciproquement, un cylindre tangent à la surface (1) soit nécessairement tangent à la surface (2).

Donc, pour trouver la solution singulière de l'équation différentielle donnée, on commencera par chercher le contour apparent de la surface représentée par cette équation, en raisonnant comme nous l'avons fait dans les numéros précédents pour trouver le contour apparent de la surface (2). Puis on devra s'assurer si la valeur de y' obtenue par la différentiation de l'équation de ce contour apparent satisfait bien à l'équation différentielle. Si cette condition n'est pas remplie, la solution devra être rejetée, comme étrangère à l'équation différentielle. Si, au contraire, elle est remplie, il restera encore à distinguer si la solution obtenue est une solution singulière ou si c'est une intégrale particulière, distinction dont nous nous occuperons plus loin.

856. Ainsi, si l'on suppose d'abord l'équation (1) mise sous forme rationnelle et entière, on obtiendra le contour apparent de la surface (1) en éliminant y entre l'équation (1) et sa dérivée par rapport kyf

ce qui revient à chercher le lieu des points (x,y) pour lesquels l'équation (1) donne pour j7 deux racines égales.

Si l'équation (1) est transformée de manière que l'équation (3) perde une partie ou la totalité de ses solutions, on retrouvera les solutions perdues en ayant recours à l'une des équations

àf df

qui sont généralement la conséquence l'une de l'autre.

On pourrait le déduire de la remarque que, pour chaque point de la courbe de contact de la surface (i) avec le cylindre circonscrit, on doit avoir