CHAP. II, § V

on aurait

dy

\J 1 Xf -T- X ■

valeur qui devient infinie pour x = o ; etc.

857. Caractères distinctifs des solutions singulières et des intégrales particulières . — -La distinction entre les solutions singulières et les intégrales particulières est facile quand on connaît l'intégrale générale. Soit, en effet,

(i) F(*,jr,£) = o

l'intégrale générale, et soit donnée une relation sans constante arbitraire

satisfaisant à l'équation différentielle, c'esl-à-dire donnant, pour chaque point (x,y) de la courbe qu'elle représente, la même valeur de j' que l'équation différentielle. Si (2) représente une intégrale particulière, il faudra que cette équation puisse se déduire de (1) en particularisant convenablement la constante C. Il devra donc exister une valeur de C qui rende l'équation (1) identique avec (2). Il s'ensuit de là que, si entre les équations (1) et (2) on élimine une des variables x, y, l'autre devra aussi disparaître, et l'équation résultante devra ne contenir plus que la seule inconnue G. Si l'autre variable ne disparaît pas, l'équation (2) représentera alors une solution singulière.

Ainsi, dans l'exemple du numéro précédent, la solution x = o, substituée dans l'intégrale générale (7), donne (y — C)2=o, d'où l'on tire pour C une valeur variable. Donc x = o est une solution singulière.

858. Supposons maintenant que la solution proposée ait été déduite directement de l'équation différentielle. Si cette solution est une intégrale particulière, les valeurs de y", y'", . . . que l'on en déduira par des différentiations successives devront être égales,