CARACTÈRES DES SOLUTIONS SINGULIÈRES
pour chaque point {oc, y) de la courbe (2), aux valeurs obtenues de la même manière au moyen de l'équation différentielle. Si donc on vient à rencontrer une dérivée d'un certain ordre qui ait des valeurs différentes, suivant qu'on la déduit de la solution (2) ou de l'équation différentielle elle-même, cela prouvera que la courbe ( 2) ne fait pas partie de la série des enveloppées. Donc la solution (2) sera une solution singulière.
Exemple. — Soit l'équation différentielle
r — rf — ' ■ \/\ -+- y 2.
Si 1 on pose, pour abréger, '— = a, et qu'entre l'équation
(1) y — xy' = u\/i-hy'-
( 2 ) ( if — x2 ) f- -+- ix.yf + u2 — ; 2 = o
et sa dérivée par rapport à yJ on élimine y' , il vient
xy 11- — ■ y-
.vy
? ou u-[u- — x- — j-J=zo,
ce qui donne les deux solutions u = o et u- = oc- -f-j -, c'est-àdire
.r2 -f- y- — o et x- -h j - = 4 «2.
L'une et l'autre de ces deux solutions donnent
J d'où
x- -+- y- \ix'- + y-
y — xy' = , v^i -t- y - = ■>
valeurs qui, substituées dans l'équation (1), y satisfont soit pour u = o, soit pour u = ia.
La première de ces solutions donne, pour le rayon de courbure, 0=0, la seconde p=ia. Cherchons maintenant la valeur de p qui résulte de l'intégrale générale.
o88 LIVRE IV. — CHAP. II, § V.
L'équation (2) donne
en posant
r = v^„s.rs Jï.
Si l'on difFérentie l'équation (2), on a
[|V — .r2 ) r' H- -vr]/' -h ««' ( 1 H- j/2 ) — o .
En remplaçant le multiplicateur de y" par sa valeur uT\, tirée de ( 3 ), et remarquant que
, x-\-yy' __ f .x[u- — x- — j2) -f- ajR R uy — .rR
a a u* — .r" a tr ■ — x~
1 — ; -, , «(«J — ■rR)
u 1/ 1 -Y- r - =- r — xr = ; = — - ?
yi+ j" - =- r — xy = d'où
et enfin que
( „2 x*)y H .z.r — «R, «Rj" -h „ ^ ( ! j j'
il vient
"HJ
ce qui donne, au signe près, en faisant abstraction de la solution zjR = o, que nous venons d'examiner,
Cette valeur n'étant pas la même que celles que donnaient les solutions u = o et R = o ou x- -\-J- = 4 a~i on en conclut que ces deux dernières étaient des solutions singulières, et non des intégrales particulières.
C'est ce qu'on peut voir clairement en cherchant l'intégrale gé-
(') Les deux valeurs de j' devenant égales pour R= 0 , on voit que R = 0 peut donner une solution singulière [85C].
CARACTERES DES SOLUTIONS SINGULIÈRES. 38g
lierai e. Pour cela, posons x = rcosp, y = s'mp] il viendra
— /2dp = — Jdr2 -\~ T^'dp*.
ia
ou, en faisant abstraction de la solution r2 == o,
o = (4r<2 ~~ i~)dp- — diA.
Cette équation est vérifiée par ^a- — r- = o, dr- — o\ en laissant encore de côté cette solution, il vient
dr ,, , .
dp = , =- , d ou 7- — 2 « sin i p -f- C 1 ,
ou, en remplaçant sinC par G,
équation d'un cercle de rayon a, passant par l'origine et ayant pour enveloppe le système des deux cercles r =-. o et 7' = ia.
859. Mais ce caractère n'est pas toujours décisif, les enveloppées pouvant avoir dans certains cas avec l'enveloppe un contact d'ordre infini.
Soit, par exemple, l'équation différentielle
(>) j'=r(iogj)2.
L'équation ~j. —. c© donne la solution^' = o, qui satisfait à l'équation différentielle [385], et qui donne pour toutes les dérivées j", }'", ... des valeurs nulles. On tire de l'équation différentielle
J"=j[(l0gj)4-f-2(l0gj)3],
et cette dérivée s'annule avec y. On verrait de même que toutes les dérivées suivantes s'annulent également, en vertu de l'équation différentielle aussi bien qu'en vertu de la solution y — o.
Mais, si l'on cherche l'intégrale générale de l'équation (i), laquelle est
on voit que cette intégrale ne peut se réduire ky = o pour aucune
3gO LIVRE IV. — CHAP. II, § Y.
valeur constante de G. Donc, malgré l'identité des dérivées pour Y = o, cette solution est une solution singulière de l'équation différentielle.
Il est donc indispensable d'avoir vin autre critérium pour distinguer les solutions singulières à l'aide de l'équation différentielle elle-même. Nous allons exposer la méthode découverte par P. -H. Blanchet, ancien maître de conférences à l'Ecole Normale, et qui nous a été communiquée par l'auteur en 1846".
860. Supposons l'équation différentielle résolue par rapport à y', et mise sous la forme
et soit
son intégrale générale. Soit donnée une solution
sans constante arbitraire, et satisfaisant à l'équation différentielle (1). Il s'agit de savoir si y = X est une intégrale particulière ou une solution singulière de l'équation (1).
Puisque V et Xsont des solutions de l'équation (1), on doit avoir identiquement, quelle que soit la valeur de G [829],
d'où l'on tire
Multiplions les deux membres par dx, et intégrons entre deux limites x0 et x, entre lesquelles on suppose que la valeur (2) de y' ne passe pas par l'infini pour la valeur attribuée à la constante G, et que la fonction sous le signe y, ainsi que les autres analogues que nous rencontrerons, ne change pas de signe. Il vient alors
(«) l°sv^% = L, v^lc "•
V0, X0 étant les valeurs des fonctions V, X pour x =- x{).
CARACTÈRES DES SOLUTIONS SINGULIÈRES. 3gi
Attribuons maintenant à la constante C une valeur C0 telle que l'on ait
La fonction sous le signe f prendra, pour la limite inférieure x0 de l'intégrale, la valeur limite
,im/K,v)-/Kx)=/,KXo)
Si la dérivée partielle^ [x, X) a une valeur finie, quel que soit x entre les limites x0 et x, alors l'intégrale du second membre de (5), ayant tous ses éléments finis, aura une valeur finie. Donc
le premier membre log — ne pourra être infini. Mais le dé-
nominateur s'annule pour C = C0 ; il faut donc que l'on ait aussi, pour C — C0 , V = X. Donc la solution y = X se déduit de l'intégrale générale y— V, en attribuant à la constante C une valeur convenable ; donc j^ = X est une intégrale particulière. Ainsi toute
ày' solution qui donne pour -^— une valeur finie est une intégrale particulière.
Si /^' (x, V) est infiniment grand d'un ordre u-^m pour V infiniment voisin de X, en le multipliant par (V — X)"', le produit restera infini, ou du moins ne s'annulera pas. Donc la quantité
|6) ^[(V-X^-lVo-Xo)"']^"'
dx
sera finie ou infinie, mais non = o, puisque les éléments de l'intégrale sont finis ou infinis, et tous de même signe. On ne peut donc avoir V = X en même temps que V0 = X0. Donc si, pour y — X,
ày'
-y- est infini d'un ordre ]j?Lm^> o, X sera une solution singulière.
à y' Si l'ordre infinitésimal de — estzéro, comme celui de logo [187],
alors la quantité
ri(V-X) . log(V-X)
= Ioff
1 J xo
X)log(V-X) ~'&log(V0-X0)
,/>,V)-/(.r,X) (V-X)loe(V-X) '
3ga LIVRE IV. — CIIAP. II, § V.
ne sera pas infinie si la valeur de
lira
loc«
n'est pas infinie. Alors Y — X s'annulera pour C = C0, etj — X sera une intégrale particulière.
Si cette limite est infinie de l'ordre de (logo)*, en prenant ni "S y-, l'expression
M([log(V-X)]« [log(V0-X0; ' .1, ( v — X)I.1ôiî(\
|iog( \ — Xjj1-1-'"
ne sera pas nulle; donc A' — X n'est pas nul, et j — X est une solution singulière.
En continuant ainsi, on verra que y -~ X est une solution particulière si, pour e infiniment petit, elle rend finie la limite de l'une des expressions
c logc
/(•*Q-H-g) — /(*, r) s loge iog loge
Ce sera, au contraire, une solution singulière si, pour une valeur positive et finie, mais aussi petite que l'on voudra, de m, elle rend infinie la limite de l'un des rapports
/(.g,r + 6)-/(.r,j) el— m '
fU,y-)-e)—f(.v,y}
e(loge)1-1-'" eloge(logloge)1+/" '
