Exemples. — I. L'équation différentielle

CARACTÈRES DES SOLUTIONS SINGULIÈRES. 3g3

admet pour solution y = o. On a ici f{^yy) = -■> et le rapport

reste fini pour y = o. Donc y = o est une intégrale particulière. En mettant l'équation différentielle sous la forme

x — yx' = o,

où oJ = —-•> on verrait de même, par l'échange mutuel de y et de x, que la solution x = o est une autre intégrale particulière. 11. L'équation différentielle

y'sjx— v//=o est aussi vérifiée par y = o. Or, en faisant X =: o, on a

yjo -t- t \Jo

\jx \Jx T

quantité infinie pour z = o. De plus,

\ 'x \jx I

„l—'ll ' J ni

Ar — m .—

est encore infinie pour toute valeur de m<^-- Donc i -- o est 1 2 J

une solution singulière.

En mettant l'équation différentielle sous la forme

\jx — X \lj =zz O,

on verrait de même que x = o est aussi une solution singulière. III. Si l'on considère la solution y = o de l'équation [859]

y =jr.(logj)2,

on a

.. îflogs)2 — o(logo)2 ,. ,,

hm l 8 ; l b ' =lim(]ogs)2 = co,

tandis que la limite de la même expression multipliée par îm serait zéro. On a ensuite

.. f[.v, X-f-s) — /(*» X) .. s(logs)2 slogs elogs

et, de plus,

/(g. X + i)-/(/J) 8(logg)«

Iim — n V; = hm — -r — ^ :- — = hm

:(l0g£)i+"J ï(log£)1+'" (loge)'"-1

est infinie pour m ^> o et <^ i . Donc y = o est une solution singulière.