DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES D'ORDRE SUPÉRIEUR AU PREMIER

INTÉGRATION DE QUELQUES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES d'ordre SUPÉRIEUR AU PREMIER.

862. Nous traiterons d'abord quelques cas où l'intégration d'une équation différentielle d'ordre supérieur au premier peut s'effectuer complètement à l'aide des quadratures.

I. Considérons d'abord le cas où l'équation ne contient que la variable indépendante x, avec une seule dérivée d'ordre supérieur yW de la fonction inconnue y, et supposons, en premier lieu, que cette équation soit résolue par rapport à j^'K et de la forme

ri II

Si l'on désigne, pour abréger, par / f(x)dxn le résultat de n in-

tégrations successives opérées sur la fonction J(x), multipliée chaque fois par dx, on voit, en mettant les constantes arbitraires en évidence, que l'intégrale générale de l'équation (i) peut s'écrire sous la forme

x) dxn H- C, x'1-1 -+- C, .r"-2 -4- . . - -+- C„.

Au lieu d'une intégrale d'oindre n, on peut introduire dans l'expression (2) des intégrales du premier ordre. En effet, l'intégra-

lion par parties donne successivement

fjf(.r)jy- = xjf[x)dx -fxf[x)dx

rr= x j f[x) dx — / xf(x) dx H- Cx -\- C

= x j /(l)dt'— j tf[t)elt -t-O -4- C

= / (x — f) /( f ) dt -4- C j: -h C,

,////(.,•) <fe« =f[xff[x) dx ~fxf[x) dx] dx

= £ \**ff[x)dx-f**f[x)dx\ - [x/x/(.r)^r-/.r5/(.r)^]

= ~ [-7-'2//(-r) r/j' — 2.r/.r/(.r) rfo ^-Jx^f'x) dx]

En continuant ainsi, on voit que les résultats trouvés sont de la forme

rn rx [r — ty-y

On démontrera la généralité de cette formule en différentiant les deux membres de l'équation (3) par rapport à x, ce qui reproduira la formule analogue relative à l'indice n — i. Si celle-ci est supposée vérifiée, on en conclura réciproquement, par l'intégration, que l'équation (3) en est la conséquence, d'où il s'ensuit que la formule (3) est vraie pour toute valeur de l'indice n.

La formule (3) donne l'intégrale générale de l'équation (i) sous la forme d'une intégrale définie prise par rapport à un paramètre variable. Nous saisissons cette occasion pour faire remarquer cette forme d'intégrale, sur laquelle est fondée une méthode très-générale d'intégration des équations différentielles.

Si l'on développe, dans le second membre de (3), l'expression [x — ■l)"~', ce second membre se présente alors sous la forme d'une somme d'intégrales du premier ordre.

INTÉGRATION DES ÉQUATIONS D'ORDRE SUPÉRIEUR. 3g;

863. Indiquons quelques applications de la formule (3). i° Soit /"(je) = ex, et posons Jexx1ldx = un. On trouvera successivement, d'après la formule (3),

ffexdxï = ex -i- C.r + C'~ xjexdx — fxexd.v = .r«0 — Hj,

fffexd.7? =ef+-C*:2+C^-l- C"= - (x2 «0 — ^"i + "2),

f [exdx* = e* -1- \ Cr3 H- . . . -•- C'"=-- At U3 «o — 3.r2 «x + 3a?«, — «,),

et ainsi de suite ; d'où l'on tirera l'une après l'autre les valeurs de ii\, Mo, u3, .... On a ainsi

u0 = cx-V C, ui = [x — i) ex-\- C, u2 = (.x5 — 2x -f- i) er+ C" ', ....

2° En remplaçant, dans (3), f(oc) par f^^{oc), il vient [326 et 360]

rt X ,t X p>X

J.l\, *Jx0 «-• JT„

i.i...{n — i)JXg

ce qui nous donne immédiatement l'expression, déjà obtenue, du reste de la série de ïaylor sous forme d'intégrale définie.

864. Si, au lieu d'être résolue par rapport à y[n\ l'équation proposée était résolue par rapport à x, et de la forme

(4) x = ?(ji'%

on en tirerait d'abord, en différentiant,

dx = ?'{j-('!))dj("K

On a ensuite

dj("~V = yWdx = ï.'(j("))j('0^j(«)>

d'où, en intégrant,

ir(»-i)==?1(ir(»}) + C1.

De même,

3g8 LIVRE IV. — CHAP. III, § I.

et, en intégrant,

En continuant ainsi, on obtiendra la valeur de y, exprimée au moyen de y(n) et de n constantes arbitraires. En éliminant yM de cette valeur au moyen de l'équation (4), on aura une relation entre x, y et n constantes arbitraires, qui sera l'intégrale générale de l'équation proposée.

865. II. Un second cas d'intégrabilité par les quadratures est celui où l'équation différentielle ne contient que deux dérivées d'ordres consécutifs, et où elle est, par conséquent, de la forme

Si l'on suppose d'abord l'équation résolue par rapport à la dérivée de l'ordre le plus élevé, et mise sous la forme

on en tire, à cause de dj '('l~l'> = y^'^dx,

d'où

(3) x-Jf[W^)+Cl'

On est ainsi ramené à une équation de même forme que celle qui a été traitée dans le numéro précédent, et l'on en tire successivement

j(»-')=J7(«-i)^=J J /{j(,it)} +C,=/1(r(»-'i) + C„

^ =/,<«>* Jf^^p + c,, + c

et ainsi de suite, de sorte que l'on obtiendra finalement^ en fonction de y(n~f\ de x et de n — i constantes arbitraires. L'élimination de j^"-l) entre l'équation obtenue et l'équation (3) donnera une relation entre x,y et n constantes arbitraires, qui sera l'intégrale générale de l'équation (i);