INTÉGRATION DES ÉQUATIONS D'ORDRE SUPÉRIEUR

Exemple. — Trouver la courbe dont le rayon de courbure a une valeur constante donnée a.

L'équation différentielle du problème sera

d'où

y = — = -1+;»' dx a '

a dy' a y

* a y dy' a

ce qui donne, en éliminant y ' ,

866. Supposons maintenant l'équation (i) résolue par rapport à la dérivée la moins élevée, et mise sous la forme

On en tire d'où

et par suite

On a ensuite

dy(,n-i)=y(n)dx ?'[y(»))dy<n),

dx

?'(y(»))dy(>n

en

r?'u(n})dJ(,i) ^ r

d'où

y(j(/°)-ylJj(i)7 ,H7C,= y1(^»))+C„ puis, de même,

et ainsi de suite, jusqu'à ce que l'on parvienne à une valeur de y exprimée au moyen àej^"\ de x et de n — i constantes arbitraires. En éliminant y(n) à l'aide de l'équation (5), on aura l'équation intégrale générale de (4), entre x, y et n constantes arbitraires.

867. III. Le troisième cas que nous étudierons est celui des équations qui ne renferment que deux dérivées dont les ordres diffèrent de deux unités, et qui sont, par suite, de la forme

Commençons par supposer l'équation résolue par rapport à la dérivée de l'ordre le plus élevé, et mise sous la forme

De l'égalité

on tire

(3) j(«-i) dji'i-1) z=yW dj-(»-v}

ou, en mettant pour yW sa valeur tirée de l'équation (i),

d'où l'on tire, en intégrant, puis extrayant la racine carrée,

équation de la forme j{"~l) =f\ {j{-n~2)), et dont on achèvera l'intégration comme au n° 86o.

Exemple. — Soit l'équation On en tire

yd/ = — a*jrdjr, d'où /=v/C2-«2J2, ensuite

, r, C dr T ■ °y

x -4- L = I — = - arcsin -'-•

d où, en écrivant C au lieu de --

Csinaf.r -f- G'1