CAS D'ABAISSEMENT DE L'ORDRE D'UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE
869. T. Equations dont le premier membre est une différentielle exacte. — Considérons d'abord un exemple particulier, et soit
l'équation
y -+■ 3 xy' -+- 2 jj'2 + (x- -4- 2 j2 y ) y" = o
ou
(y-+- 3xy' -t-2.yy'3)dx -h (x2-+-2/2j') dy'=o.
Cherchons si le premier membre ne serait pas la différentielle d'une certaine fonction u — f(x, y, y') . La différentielle d'une telle fonction est de la forme
du =oydy+--->
les termes non écrits étant de la forme dx<f[x,y,y'). Donc le coefficient de dyJ dans l'équation proposée est la dérivée partielle de u par rapport à j7. Soit ii\ l'intégrale de ce coefficient, prise en considérant y' comme seule variable. Dans l'exemple actuel, cette intégrale est
«!==/"( ** + zyy ) dy = x*y + yy\
en n'y introduisant aucun terme indépendant de y'. On aura
du, = [a* + 2r*y)dy + yd[s*) + y*d{y*).
H. — Cours de Calcul infin., II. 20
402 LIVRE IV. — Cil A P. III, § II.
Il est clair que du — dut ne contiendra plus aucun terme en dy', c'est-à-dire aucun terme dépendant de la différentielle seconde dey; et comme du — du, est une différentielle exacte si du en est une, il faudra que cette expression soit la différentielle d'une fonction de x et de y, ne renfermant, par conséquent, y' ou dx et dy qu'au premier degré. On trouve, en effet,
du — cl ul = [y -Y- 3 xy -t- iyy' 3 ) dx — i xy' dx — i y y'3 dx = ydx + xdy ==d(xy),
ce qui est une différentielle exacte. On a donc
et cette équation est une intégrale première de l'équation proposée.
En raisonnant de même sur le cas général, on arrive à la règle suivante pour reconnaître si une expression différentielle donnée est la différentielle exacte d'une certaine fonction u et pour obtenir en même temps cette fonction. Soit n l'ordre de cette expression différentielle. Il faudra d'abord que la plus haute dérivéej^") ou la plus haute différentielle j^n) dx = dj^"~^ n'y entre qu'au premier degré. On intégrera alors le coefficient de y^n) partiellement par rapport à y^'l~^, c'est-à-dire comme si y(n~D était seule variable. Soit u{ l'intégrale obtenue ; du — duY ne contiendra plus de termes enj'"1 et se réduira à une expression différentielle où la plus haute différentielle sera y(n~*) dx = dy(-n~-) . Cette expression devant être une différentielle exacte si du en est une, il faudra que y(/l~l) ou dy('l~2^ n'y entre qu'au premier degré. On intégrera alors le coefficient àey^n~[) partiellement par rapport hy(n~2\ ce qui donnera l'intégrale u2. Alors du — du, — du2 ne contiendra plus que des termes d'ordre n — i au plus, et devra être une différentielle exacte. En continuant ainsi, si la quantité proposée est une différentielle exacte, on devra parvenir, en dernier lieu, à une expression en x,y, dx, dy, qui soit une différentielle exacte, et que l'on intégrera comme on l'a vu, n° 772 et suivants. La somme de toutes les intégrales partielles ainsi obtenues, uK -j- m2H- . . . , sera l'intégrale de l'expression proposée.
En égalant cette dernière intégrale à une constante arbitraire, on aura une intégrale première de l'équation du = o, dont l'ordre se trouvera ainsi abaissé d'une unité.
