ABAISSEMENT DE L'ORDRE DES ÉQUATIONS

Si, dans le cours du calcul, on rencontrait un reste dans lequel la plus haute dérivée entrât à un degré supérieur au premier, la méthode cesserait d'être applicable et l'expression proposée ne serait pas une différentielle exacte.

870. II. Equations où l'une des 'variables x, y n entre pas explicitement. — Si l'équation ne contient pas y explicitement et est de la forme

en prenant j^' pour nouvelle fonction inconnue, l'équation deviendra / , d/ d«-\r'\

A;"'7'^' •••,^=rj = 0'

et ne sera plus que de l'ordre n — i. L'intégration de cette équation conduira à une relation entre x,y' et n — i constantes arbitraires, et cette relation elle-même s'intégrera par les quadratures, en la résolvant soit par rapport ky, soit par rapport kx [845].

Plus généralement, si l'équation proposée ne contient ni y ni aucune de ses p — i premières dérivées, et qu'elle soit de la forme

f(.r, j(P\ j('1+1K ..., jr(ny)=o,

on la ramènera, en prenant yW pour la fonction inconnue, aune équation de l'ordre n — /;,

/ <lr{p) dn-PyW\ fia-. r{p\ - — •> — I = o,

J \ ,J ' dx dx'l-i> )

dont l'intégration conduira à une relation entre x, j ■^ et n — p constantes arbitraires. On intégrera cette relation à l'aide des quadratures, d'après ce que nous avons vu aux nos 862 et 864, ce qui complétera le nombre nécessaire n de constantes arbitraires.

Exemple. — Trouver la courbe dont le rayon de courbure soit égal à une fonction donnée X de l'abscisse x. On a l'équation

4o4 LIVRE IV. — CHAP. III, § II.

qui peut s'écrire sous la forme

d.r: ely'

on en tire

ou, en désignant, pour abréger, par V le premier membre de cette équation,

Vr/.r , d'où y = \ -

Si l'on demande, par exemple, que le rayon de courbure soit en raison inverse de l'abscisse», en prenant X = — ■•> il viendra

x- •+• L = -■> a ou y = I — - -h C .

Vi+j'2 J \]a:'-— (j:«4-C)a

La courbe représentée par cette équation est connue sous le nom de courbe élastique. C'est la forme qu'affecte une lame élastique dont une des extrémités est fixée, l'autre supportant un poids.

871. Si c'est la variable indépendante x qui n'entre pas dans l'équation différentielle, celle-ci étant de la forme

/(j,/,j", ...,jW)=o,

on ramènera ce cas au précédent en prenant x pour nouvelle variable dépendante, et exprimant les dérivées y', j", . . . , j ("J

dej^ par rapport à.r au moyen des dérivées x' '= — ? a/' = — ; > • • • ? x{"> = — — de x par rapport a j".

Ainsi on aura j '= — ? j "= — — > .... D'après cela, l'équation

deviendra

fi \ dr' fi \ i